Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{llc}x_{1}^{\prime}(t) & = & a x_{2}(t) \\ x_{2}^{\prime}(t) & =-2 x_{1}(t) & -2 x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de equações diferenciais de coeficientes constantes
\begin{cases} x_{1}'(t)=a\,x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=-2\,x_{1}(t)-2\,x_{2}(t), \end{cases}
e pede a solução geral. O conteúdo envolvido é resolver sistemas de ODEs lineares usando redução a uma equação de segunda ordem ou encontrar autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Vamos reduzir a um escalar de segunda ordem para x_{1}(t). Derivando a primeira equação,
x_{1}''(t)=a\,x_{2}'(t).
Substituindo x_{2}'(t) da segunda equação,
x_{1}''(t)=a\bigl(-2\,x_{1}(t)-2\,x_{2}(t)\bigr) =-2a\,x_{1}(t)-2a\,x_{2}(t).
Mas da primeira equação x_{2}(t)=\tfrac{1}{a}x_{1}'(t). Logo,
x_{1}''(t)=-2a\,x_{1}(t)-2a\cdot\frac{1}{a}x_{1}'(t) =-2a\,x_{1}(t)-2\,x_{1}'(t).
Reagrupando,
x_{1}''(t)+2\,x_{1}'(t)+2a\,x_{1}(t)=0.

Passo 3

A equação característica é
\lambda^{2}+2\lambda+2a=0.
Suas raízes são
\lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-2a}\equiv -1\pm\Delta, \quad\Delta=\sqrt{1-2a}.

Passo 4

Como os autovalores são \lambda_{1} e \lambda_{2}, a solução geral para x_{1}(t) é
x_{1}(t)=C_{1}\,e^{\lambda_{1}t}+C_{2}\,e^{\lambda_{2}t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Para obter x_{2}(t), usamos
x_{2}(t)=\frac{1}{a}\,x_{1}'(t) =\frac{1}{a}\Bigl(C_{1}\,\lambda_{1}e^{\lambda_{1}t} +C_{2}\,\lambda_{2}e^{\lambda_{2}t}\Bigr).
Em forma vetorial, podemos escrever
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix} =C_{1} \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{\lambda_{1}}{a}\end{pmatrix} e^{\lambda_{1}t} +C_{2} \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{\lambda_{2}}{a}\end{pmatrix} e^{\lambda_{2}t}.]

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x_{1}(t)&=C_{1}\,e^{(-1+\sqrt{1-2a})t}+C_{2}\,e^{(-1-\sqrt{1-2a})t},\\\ x_{2}(t)&=\frac{1}{a}\Bigl[C_{1}(-1+\sqrt{1-2a})\,e^{(-1+\sqrt{1-2a})t} + C_{2}(-1-\sqrt{1-2a})\,e^{(-1-\sqrt{1-2a})t}\Bigr], \end{aligned} }
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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