Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=-x_{1}(t)-4 x_{2}(t)+4 \cos t \\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-4 x_{2}(t)+2 \operatorname{sen} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema não homogêneo
\begin{cases} x_{1}'(t)=-x_{1}(t)-4x_{2}(t)+4\cos t,\\\ x_{2}'(t)=x_{1}(t)-4x_{2}(t)+2\sin t, \end{cases}
que podemos escrever em forma matricial como
x'(t)=A\,x(t)+f(t),
onde
A=\begin{pmatrix}-1 & -4 \\\\ 1 & -4\end{pmatrix}, \quad f(t)=\begin{pmatrix}4\cos t\\\ 2\sin t\end{pmatrix}.
Para resolvê-lo, precisamos (1) achar a solução geral do sistema homogêneo x'=Ax e (2) encontrar uma solução particular de x'=Ax+f(t).

Passo 2

Resolvendo o homogêneo x'=Ax: calculamos os autovalores de
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -4 \\\\ 1 & -4-\lambda\end{pmatrix} =( -1-\lambda)(-4-\lambda)-(-4)(1) =\lambda^{2}+5\lambda+8.
As raízes são
\lambda=\frac{-5\pm\sqrt{25-32}}{2} =\frac{-5\pm i\sqrt7}{2} =-\frac52\pm i\frac{\sqrt7}{2}.
Logo a parte real é -\tfrac52 e a imaginária \pm\tfrac{\sqrt7}{2}, indicando que a solução homogênea é da forma
x_{h}(t) =e^{-\tfrac52t}\Big\{C_{1}u\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) \;+\;C_{2}u\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) \Big\} + e^{-\tfrac52t}\Big\{C_{1}(-w)\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) \;+\;C_{2}w\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Big\},
onde u e w são as partes real e imaginária de um autovetor complexo de A.

Passo 3

Encontramos um autovetor para \lambda=-\tfrac52+i\tfrac{\sqrt7}{2}.
Resolvendo (A-\lambda I)v=0 obtemos, por exemplo,
v=\begin{pmatrix}\frac{3+i\sqrt7}{2}\\[6pt]1\end{pmatrix},
de modo que
u=\Re(v)=\begin{pmatrix}\tfrac32\\\ 1\end{pmatrix}, \quad w=\Im(v)=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt7}{2}\\\ 0\end{pmatrix}.
Substituindo em x_{h}(t) e rearranjando os constantes C_{1},C_{2}, a forma real do homogêneo fica
x_{h}(t) =e^{-\tfrac52t} \begin{pmatrix} A\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+B\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\\[6pt] C\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+D\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) \end{pmatrix},
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias (relacionadas a C_{1},C_{2}).]

Passo 4

Procuramos uma solução particular do tipo
x_{p}(t) =a\cos t+b\sin t,
com a,b\in\mathbb{R}^{2} constantes. Então
x_{p}'(t) =-a\sin t+b\cos t,
e a equação x_{p}'=A\,x_{p}+f(t) gera o sistema para a=(a_{1},a_{2}) e b=(b_{1},b_{2}):
\begin{cases} b = A\,a + \begin{pmatrix}4\\\ 0\end{pmatrix},\\\\ -\,a = A\,b + \begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix}. \end{cases}
Resolvendo essas quatro equações lineares, achamos
a=\begin{pmatrix}\frac{86}{37}\\[4pt]\frac{16}{37}\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}-\frac{2}{37}\\[4pt]\frac{22}{37}\end{pmatrix}.
Portanto
x_{p}(t) =\begin{pmatrix}\tfrac{86}{37}\\[4pt]\tfrac{16}{37}\end{pmatrix}\cos t +\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{37}\\[4pt]\tfrac{22}{37}\end{pmatrix}\sin t.]

Passo 5

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).

Resposta

A solução geral é
x(t) =e^{-\tfrac52t} \begin{pmatrix} A\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+B\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\\[6pt] C\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+D\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\tfrac{86}{37}\\[4pt]\tfrac{16}{37}\end{pmatrix}\cos t +\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{37}\\[4pt]\tfrac{22}{37}\end{pmatrix}\sin t,
onde A,B,C,D são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

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