Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=3 x_{1}(t)-4 x_{2}(t) \\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+t e^{t}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear inhomogêneo de ordem 2
\begin{cases} x_{1}'(t)=3\,x_{1}(t)-4\,x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+t\,e^{t}. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e termo fonte. Vamos proceder em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo, depois obtemos uma solução particular por variação de constantes.

Passo 2

Determinamos a parte homogênea. Escrevendo em forma matricial
\mathbf x'(t)=A\,\mathbf x(t),\quad A=\begin{pmatrix}3 & -4\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}3-\lambda & -4\\\ 1 & -1-\lambda\end{vmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4)\cdot1 =\lambda^{2}-2\lambda+1=(\lambda-1)^{2}.
Logo \lambda=1 duplo. Um autovetor \mathbf v satisfaz (A-I)\mathbf v=0, ou seja
\begin{pmatrix}2 & -4\\\ 1 & -2\end{pmatrix}\mathbf v=0 \implies v_{1}=2\,v_{2}.
Podemos escolher \mathbf v=(2,1)^{T}. Para completar a base, tomamos um vetor generalizado \mathbf w tal que (A-I)\mathbf w=\mathbf v; uma escolha é \mathbf w=(1,0)^{T}. Assim a solução homogênea é
\mathbf x_{h}(t) =e^{t}\Bigl(C_{1}\,\mathbf v+C_{2}\,\bigl(t\,\mathbf v+\mathbf w\bigr)\Bigr) =e^{t}\Bigl(C_{1}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}\Bigl(\begin{pmatrix}2t\t\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr)\Bigr).

Passo 3

Agora aplicamos variação de constantes. Definimos a matriz fundamental
\Phi(t)=\bigl[\phi_{1}(t)\;\phi_{2}(t)\bigr] =e^{t}\begin{pmatrix}2 & 2t+1\\\ 1 & t\end{pmatrix}.
Sabendo que \Phi^{-1}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}t & -(2t+1)\\\ -1 & 2\end{pmatrix}(-1), o vetor de constantes varia como
\mathbf u'(t)=\Phi^{-1}(t)\begin{pmatrix}0\t\,e^{t}\end{pmatrix}
o que leva a
\mathbf u'(t) =\begin{pmatrix}2t^2+t\\\ -2t\end{pmatrix}, \quad \mathbf u(t) =\int\mathbf u'(t)\,dt =\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}t^3+\tfrac12t^2\\\ -t^2\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução particular é
\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t)\,\mathbf{u}(t) =e^{t}\begin{pmatrix}2 & 2t+1\\\ 1 & t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}t^3+\tfrac{1}{2}t^2\\\ -t^2\end{pmatrix}.
Fazendo o produto matricial obtemos
\mathbf{x}_{p}(t) =e^{t}\begin{pmatrix} -\,\tfrac{2}{3}t^3\\[6pt] -\,\tfrac{1}{3}t^3+\tfrac{1}{2}t^2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
\mathbf x(t)=\mathbf x_{h}(t)+\mathbf x_{p}(t).

Resposta

x_{1}(t) =e^{t}\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t-\tfrac{2}{3}t^3\bigr),
x_{2}(t) =e^{t}\bigl(C_{1}+C_{2}t-\tfrac{1}{3}t^3+\tfrac12t^2\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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