Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução homogênea (solução da equação sem os termos não homogêneos) e das soluções particulares para cada termo não homogêneo. Vamos usar o princípio da superposição, que nos permite somar soluções particulares para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla , a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Como é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para obter uma solução particular:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso indica que precisamos multiplicar por . Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Logo, . Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Utilizando o princípio da superposição, somamos as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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