Ache a solucao geral de
(Ache solucao particular de
, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução homogênea (solução da equação sem os termos não homogêneos) e das soluções particulares para cada termo não homogêneo. Vamos usar o princípio da superposição, que nos permite somar soluções particulares para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla
, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
. Como
é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para obter uma solução particular:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso indica que precisamos multiplicar por
. Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Logo,
. Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Utilizando o princípio da superposição, somamos as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.