Ache a solucao geral de
y'' - 4y' + 3y = e^(3t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular para o termo não homogêneo ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, o termo já aparece na solução homogênea. Isso significa que vamos multiplicar por para encontrar a solução particular.
Assumimos:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados