Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
2 e^-x cos x+3 e^-x sen x

Passo 1

Beleza, a questão é: “Ache a transformada de Laplace de
O conteúdo aqui é Transformada de Laplace, mais especificamente:
  1. Propriedade da linearidade (posso separar em duas funções e somar os resultados).
  2. Teorema do deslocamento no domínio de 2e^-xcos x ;+;3e^-xsen x : se eu sei e , daí posso incluir o fator trocando por .

Passo 2

Antes de mexer na conta, vamos lembrar duas transformadas básicas (para Lcos t(s) ;=;ss^2+1, Lsen t(s) ;=;1s^2+1 com Le^atf(t)(s) =;F(s-a), e suficiente grande):
E o teorema do deslocamento diz:
onde .

Passo 3

Vamos aplicar isso nas duas partes. Primeiro, para Le^-tcos t(s) =; Lcos t(s-(-1)) =; Lcos t(s+1) =;s+1(s+1)^2+1 com L2e^-tcos t =2cdots+1(s+1)^2+1 (porque com ):
Como na expressão original vem multiplicando o “2”, por linearidade:

Passo 4

Agora faz o mesmo para com Le^-tsen t(s) = Lsen t(s+1) =1(s+1)^2+1 :
Multiplicando o “3” que estava na frente:

Passo 5

Só falta somar as duas partes (por causa da linearidade):
2cdots+1(s+1)^2+1 ;+; 3cdot1(s+1)^2+1 ;=; 2(s+1)+3(s+1)^2+1 ;=; 2s+2+3(s+1)^2+1 ;=; 2s+5(s+1)^2+1

Resposta

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