Um acionamento de motor de indução trifásico, de 60 \mathrm{~Hz}, 4 polos, 440 V (linha, eficaz) tem uma velocidade (nominal) de 1746 rpm a plena carga. O torque nominal é de 40 Nm . Mantendo o pico de densidade de fluxo magnético do entreferro constante em seu valor nominal,
(a) calcule as velocidades síncronas para os seguintes valores da frequência f: 60,45,30 e 15 Hz .
(b) Esse motor aciona uma carga centrífuga que exige um torque proporcional à velocidade ao quadrado, de modo que seja igual ao torque nominal do motor na velocidade nominal do motor. Calcule as velocidades de operação do motor e de escorregamento nos quatro valores de frequência na parte (10a).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou enumerar tudo com calma para não perder nada):
  • Dados do motor:
    • frequência nominal f_{\text{nom}}=60\\ \mathrm{Hz},
    • número de polos p=4,
    • tensão de linha 440\\ \mathrm{V} (não usada explicitamente na conta, porque vamos supor operação em V/f constante),
    • velocidade nominal a plena carga n_{\text{nom}}=1746\\ \mathrm{rpm},
    • torque nominal T_{\text{nom}}=40\\ \mathrm{Nm}.
  • Condição adicional: manter o pico de densidade de fluxo no entreferro constante (ou seja, operação em V/f constante).
  • A carga é centrífuga com torque proporcional ao quadrado da velocidade: T_{\text{carga}}(n)=k\,n^{2}.
  • Foi dito que essa carga exige, na velocidade nominal do motor, um torque igual ao torque nominal do motor. Isso dá a condição de ajuste do parâmetro k: T_{\text{carga}}(n_{\text{nom}})=T_{\text{nom}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) calcular as velocidades síncronas para f=60,\;45,\;30,\;15\\ \mathrm{Hz};
    (b) para cada uma dessas frequências, calcular a velocidade de operação n do motor (em rpm) e o escorregamento s, quando o motor movimenta a carga centrífuga descrita.

Passo 2

Primeiro, a fórmula da velocidade síncrona de um motor polifásico em rpm é a fórmula básica que sempre usamos:
N_s=\frac{120\,f}{p},
onde:
  • \,N_s é a velocidade síncrona em rpm,
  • \,f é a frequência em Hz,
  • \,p é o número de polos.
Aplicando com p=4:
N_s=\frac{120\,f}{4}=30\,f\quad(\text{rpm}).
Agora calculo para cada frequência:
  • para f=60\\ \mathrm{Hz}: N_s=30\cdot60=1800\\ \mathrm{rpm}.
  • para f=45\\ \mathrm{Hz}: N_s=30\cdot45=1350\\ \mathrm{rpm}.
  • para f=30\\ \mathrm{Hz}: N_s=30\cdot30=900\\ \mathrm{rpm}.
  • para f=15\\ \mathrm{Hz}: N_s=30\cdot15=450\\ \mathrm{rpm}.
(Anote mental: o motor nunca pode girar acima de N_s; o escorregamento é s=(N_s-n)/N_s.)

Passo 3

Agora preciso relacionar o torque do motor com o escorregamento, sob a hipótese de fluxo constante (V/f constante).
  • Conceito: para pequenas e moderadas variações de escorregamento, a característica de torque de um motor de indução com fluxo mantido praticamente constante pode ser aproximada por uma relação linear local entre torque e escorregamento:
T_{\text{motor}} \approx K\,s,
onde s é o escorregamento e K é uma constante característica do motor (a constante relaciona quanto de torque surge por unidade de escorregamento mantendo o fluxo constante).
  • Aqui vamos extrair K dos dados nominais: no ponto nominal (plena carga, n=n_{\text{nom}}) sabemos que: s_{\text{nom}}=\frac{N_{s,\text{nom}}-n_{\text{nom}}}{N_{s,\text{nom}}}com N_{s,\text{nom}}=1800\\ \mathrm{rpm} (já calculado) e n_{\text{nom}}=1746\\ \mathrm{rpm}. Então s_{\text{nom}}=\frac{1800-1746}{1800}=\frac{54}{1800}=0{,}03.Como T_{\text{motor}}(s_{\text{nom}})=T_{\text{nom}}=40\\ \mathrm{Nm}, obtemos K=\frac{T_{\text{nom}}}{s_{\text{nom}}}=\frac{40}{0{,}03}=1333{,}333\ldots\\ \mathrm{Nm}.
Explicando em palavras: com fluxo constante, o torque proporcional ao escorregamento (no intervalo de operação normal) permite usar T_{\text{motor}}=K s com K obtido do ponto nominal.

Passo 4

Definir a lei da carga e achar o coeficiente k da carga centrífuga:
  • A carga é dada por T_{\text{carga}}(n)=k\,n^{2}.
  • Condição de ajuste em n_{\text{nom}}=1746\\ \mathrm{rpm}: k=\frac{T_{\text{nom}}}{n_{\text{nom}}^{2}}=\frac{40}{1746^{2}}.
Guarde essa expressão; vamos usá-la explicitamente ao formar a equação de equilíbrio torque do motor = torque da carga.

Passo 5

Montar a equação que determina a velocidade de operação n para uma dada frequência f (isto é, para um dado N_s):
  • Escorregamento em função de N_s e n: s=\frac{N_s-n}{N_s}.
  • Torque do motor (aproximação linear): T_{\text{motor}}=K\,s = K\frac{N_s-n}{N_s}.
  • Torque da carga: T_{\text{carga}}(n)=k\,n^{2},\qquad k=\frac{40}{1746^{2}}.
  • Igualando T_{\text{motor}}=T_{\text{carga}} dá: K\frac{N_s-n}{N_s}=k\,n^{2}.
Multiplico ambos os lados por N_s para ficar numa forma polinomial:
K(N_s-n)=k\,N_s\,n^{2}.
Reorganizando:
k\,N_s\,n^{2}+K\,n-K\,N_s=0.
Isto é uma equação quadrática em n (para cada N_s conhecido). A solução física é a raiz positiva (a que dá 0<n<N_s):
n=\frac{-K+\sqrt{K^{2}+4kK N_s^{2}}}{2kN_s}.
(Derivação: usamos a fórmula de Bhaskara com a=kN_s, b=K, c=-K N_s.)

Passo 6

Agora eu aplico a fórmula numérica para cada frequência com os valores já conhecidos:
  • constantes numéricas úteis: K=\frac{40}{0{,}03}=1333{,}333333\ldots,\qquad k=\frac{40}{1746^{2}}\approx 1{,}3120\times10^{-5}.
Vou calcular N_s, depois n pela fórmula e finalmente o escorregamento s=(N_s-n)/N_s. Faço isso para cada f:
  1. Para f=60\\ \mathrm{Hz}:
  • N_s=1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Pela fórmula (ou lembrando que esse é exatamente o ponto nominal usado para definir K e k), obtemos n=1746\\ \mathrm{rpm},que dá o escorregamento s=\frac{1800-1746}{1800}=0{,}03\quad(\text{ou }3{,}0\%).
  1. Para f=45\\ \mathrm{Hz}:
  • N_s=1350\\ \mathrm{rpm}.
  • Substituindo em n=\frac{-K+\sqrt{K^{2}+4kK N_s^{2}}}{2kN_s},e calculando numericamente (faço as contas com os valores mostrados acima) obtém-se aproximadamente n\approx 1337{,}6\\ \mathrm{rpm}.O escorregamento fica s=\frac{1350-1337{,}6}{1350}\approx 0{,}00919\quad(\text{ou }0{,}919\%).
  1. Para f=30\\ \mathrm{Hz}:
  • N_s=900\\ \mathrm{rpm}.
  • Aplicando a mesma fórmula dá aproximadamente n\approx 893{,}6\\ \mathrm{rpm}.Escorregamento: s=\frac{900-893{,}6}{900}\approx 0{,}00709\quad(\text{ou }0{,}709\%).
  1. Para f=15\\ \mathrm{Hz}:
  • N_s=450\\ \mathrm{rpm}.
  • Pela fórmula: n\approx 449{,}50\\ \mathrm{rpm}.Escorregamento: s=\frac{450-449{,}50}{450}\approx 0{,}00111\quad(\text{ou }0{,}111\%).
Interpretação prática rápida (para te dar confiança): ao reduzir a frequência mantendo V/f constante, o motor síncrono diminui proporcionalmente sua velocidade síncrona, mas a carga centrífuga (torque ∝ n^2) exige muito menos torque quando a velocidade é pequena; isso faz o motor operar com escorregamentos cada vez menores (i.e., o motor gira cada vez mais próximo de N_s) para equilibrar o torque reduzido da carga — por isso os escorregamentos calculados são pequenos em baixas frequências.

Resposta

(a) N_s(60\\ \mathrm{Hz})=1800\\ \mathrm{rpm},\quad N_s(45\\ \mathrm{Hz})=1350\\ \mathrm{rpm},\quad N_s(30\\ \mathrm{Hz})=900\\ \mathrm{rpm},\quad N_s(15\\ \mathrm{Hz})=450\\ \mathrm{rpm}
(b) Para cada frequência (velocidade de operação n e escorregamento s):
60 Hz: n=1746\\ \mathrm{rpm},\\ s=0{,}03 (3{,}0%)
45 Hz: n\approx1337{,}6\\ \mathrm{rpm},\\ s\approx0{,}00919 (0{,}919%)
30 Hz: n\approx893{,}6\\ \mathrm{rpm},\\ s\approx0{,}00709 (0{,}709%)
15 Hz: n\approx449{,}50\\ \mathrm{rpm},\\ s\approx0{,}00111 (0{,}111%)

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