Um acionamento de motor de indução trifásico, de
polos, 440 V (linha, eficaz) tem uma velocidade (nominal) de 1746 rpm a plena carga. O torque nominal é de 40 Nm . Mantendo o pico de densidade de fluxo magnético do entreferro constante em seu valor nominal,
(a) calcule as velocidades síncronas para os seguintes valores da frequência
e 15 Hz .
(b) Esse motor aciona uma carga centrífuga que exige um torque proporcional à velocidade ao quadrado, de modo que seja igual ao torque nominal do motor na velocidade nominal do motor. Calcule as velocidades de operação do motor e de escorregamento nos quatro valores de frequência na parte (10a).
(a) calcule as velocidades síncronas para os seguintes valores da frequência
(b) Esse motor aciona uma carga centrífuga que exige um torque proporcional à velocidade ao quadrado, de modo que seja igual ao torque nominal do motor na velocidade nominal do motor. Calcule as velocidades de operação do motor e de escorregamento nos quatro valores de frequência na parte (10a).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou enumerar tudo com calma para não perder nada):
- Dados do motor:
- frequência nominal
, - número de polos
, - tensão de linha
(não usada explicitamente na conta, porque vamos supor operação em V/f constante), - velocidade nominal a plena carga
, - torque nominal
.
- frequência nominal
- Condição adicional: manter o pico de densidade de fluxo no entreferro constante (ou seja, operação em V/f constante).
- A carga é centrífuga com torque proporcional ao quadrado da velocidade:
. - Foi dito que essa carga exige, na velocidade nominal do motor, um torque igual ao torque nominal do motor. Isso dá a condição de ajuste do parâmetro
: - O que o enunciado pede:
(a) calcular as velocidades síncronas para;
(b) para cada uma dessas frequências, calcular a velocidade de operaçãodo motor (em rpm) e o escorregamento , quando o motor movimenta a carga centrífuga descrita.
Passo 2
Primeiro, a fórmula da velocidade síncrona de um motor polifásico em rpm é a fórmula básica que sempre usamos:
onde:
-
é a velocidade síncrona em rpm, -
é a frequência em Hz, -
é o número de polos.
Aplicando com
:
Agora calculo para cada frequência:
- para
: . - para
: . - para
: . - para
: .
(Anote mental: o motor nunca pode girar acima de
; o escorregamento é
.)
Passo 3
Agora preciso relacionar o torque do motor com o escorregamento, sob a hipótese de fluxo constante (V/f constante).
- Conceito: para pequenas e moderadas variações de escorregamento, a característica de torque de um motor de indução com fluxo mantido praticamente constante pode ser aproximada por uma relação linear local entre torque e escorregamento:
onde
é o escorregamento e
é uma constante característica do motor (a constante relaciona quanto de torque surge por unidade de escorregamento mantendo o fluxo constante).
- Aqui vamos extrair
dos dados nominais: no ponto nominal (plena carga, ) sabemos que: com (já calculado) e . Então Como , obtemos
Explicando em palavras: com fluxo constante, o torque proporcional ao escorregamento (no intervalo de operação normal) permite usar
com
obtido do ponto nominal.
Passo 4
Definir a lei da carga e achar o coeficiente
da carga centrífuga:
- A carga é dada por
. - Condição de ajuste em
:
Guarde essa expressão; vamos usá-la explicitamente ao formar a equação de equilíbrio torque do motor = torque da carga.
Passo 5
Montar a equação que determina a velocidade de operação
para uma dada frequência
(isto é, para um dado
):
- Escorregamento em função de
e : - Torque do motor (aproximação linear):
- Torque da carga:
- Igualando
dá:
Multiplico ambos os lados por
para ficar numa forma polinomial:
Reorganizando:
Isto é uma equação quadrática em
(para cada
conhecido). A solução física é a raiz positiva (a que dá
):
(Derivação: usamos a fórmula de Bhaskara com
,
,
.)
Passo 6
Agora eu aplico a fórmula numérica para cada frequência com os valores já conhecidos:
- constantes numéricas úteis:
Vou calcular
, depois
pela fórmula e finalmente o escorregamento
. Faço isso para cada
:
- Para
:
-
. - Pela fórmula (ou lembrando que esse é exatamente o ponto nominal usado para definir
e ), obtemos que dá o escorregamento
- Para
:
-
. - Substituindo em
e calculando numericamente (faço as contas com os valores mostrados acima) obtém-se aproximadamente O escorregamento fica
- Para
:
-
. - Aplicando a mesma fórmula dá aproximadamente
Escorregamento:
- Para
:
-
. - Pela fórmula:
Escorregamento:
Interpretação prática rápida (para te dar confiança): ao reduzir a frequência mantendo V/f constante, o motor síncrono diminui proporcionalmente sua velocidade síncrona, mas a carga centrífuga (torque ∝ n^2) exige muito menos torque quando a velocidade é pequena; isso faz o motor operar com escorregamentos cada vez menores (i.e., o motor gira cada vez mais próximo de
) para equilibrar o torque reduzido da carga — por isso os escorregamentos calculados são pequenos em baixas frequências.
Resposta
(a)
,\quad
,\quad
,\quad
(b) Para cada frequência (velocidade de operação
e escorregamento
):
60 Hz: (3{,}0%)
45 Hz: (0{,}919%)
30 Hz: (0{,}709%)
15 Hz: (0{,}111%)
60 Hz:
45 Hz:
30 Hz:
15 Hz: