De acordo com os estudos de sala, explique o mais detalhado possível sobre:
Tensor

Passo 1

O que a questão pede: entender o que é um tensor, em que contexto ele aparece e quais são suas principais propriedades e operações. O conteúdo envolve álgebra multilinear (espaços vetoriais, dual, produto tensorial) e leis de transformação de componentes sob mudança de base. Para isso, precisaremos dos conceitos de espaço dual V^*, produto tensorial V^{\otimes r}\otimes (V^*)^{\otimes s} e da forma como as componentes se transformam.

Passo 2

Definição abstrata. Dado um espaço vetorial de dimensão finita V sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R}), chamamos de tensor de tipo (r,s) qualquer elemento do espaço
T\;\in\; \underbrace{V\otimes \cdots\otimes V}_{r\text{ vezes}} \;\otimes\; \underbrace{V^*\otimes \cdots\otimes V^*}_{s\text{ vezes}}.
Aqui V^* é o espaço dual de V, formado por todas as aplicações lineares V\to\mathbb{R}. Em outras palavras, um tensor de tipo (r,s) é uma aplicação multilinear que leva r covetores e s vetores a um escalar.

Passo 3

Lei de transformação de componentes. Escolhendo uma base \{e_i\} de V e a base dual \{e^i\} de V^* (com e^i(e_j)=\delta^i_j), todo tensor T de tipo (r,s) tem componentes T^{i_1\ldots i_r}{}_{j_1\ldots j_s} definidas por
T = T^{i_1\ldots i_r}{}_{j_1\ldots j_s}\; e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_s}.
Se mudamos para outra base relacionada por e'_i=A^k{}_i\,e_k, as componentes se transformam segundo
T'^{i_1\ldots i_r}{}_{j_1\ldots j_s} = A^{i_1}{}_{k_1}\cdots A^{i_r}{}_{k_r} \,(A^{-1})^{l_1}{}_{j_1}\cdots (A^{-1})^{l_s}{}_{j_s} \;T^{k_1\ldots k_r}{}_{l_1\ldots l_s}.
Esse comportamento garante que T seja um objeto geométrico independente da base escolhida.

Passo 4

Casos particulares e interpretação:
1. Tipo (0,0): escalar, componente única que não muda de base.
2. Tipo (1,0): vetor em V; as componentes v^i mudam pela regra v'^i=A^i{}_j\,v^j.
3. Tipo (0,1): covetor (ou forma linear) em V^*; as componentes \,\omega_j mudam pela lei \omega'_j=(A^{-1})^i{}_j\,\omega_i.
4. Tipo (0,2): bilinear em dois vetores, como uma forma bilinear B(u,v)=B_{ij}\,u^i\,v^j.

Passo 5

Operações com tensores:
Produto tensorial. Dados S\in V^{\otimes r}\otimes (V^*)^{\otimes s} e T\in V^{\otimes r'}\otimes (V^*)^{\otimes s'}, define-se
S\otimes T\;\in\;V^{\otimes (r+r')}\otimes (V^*)^{\otimes (s+s')},
cujo efeito nas componentes é a simples multiplicação (S\otimes T)^{\cdots} = S^{\cdots}\,T^{\cdots}.
Contração. Selecione um índice covariante e um contravariante e some-os, produzindo um tensor de tipo (r-1,s-1). Por exemplo, contraindo em i obtemos
T^{i\,i_2\ldots i_r}{}_{i\,j_2\ldots j_s} \;\longrightarrow\; \tilde T^{i_2\ldots i_r}{}_{j_2\ldots j_s}.

Passo 6

Tensores em variedades suaves e aplicações físicas. Num ponto p de uma variedade diferenciável M, o espaço tangente T_pM e seu dual T_p^*M geram campos tensoriais de tipo (r,s), isto é, associações suaves p\mapsto T(p). Na Relatividade Geral, por exemplo, o tensor métrico g é de tipo (0,2) e define distâncias e operações de contração para formar tensores invariantes.

Resposta

Um tensor é um objeto multilinear que, independentemente da escolha de base, possui componentes que se transformam segundo uma lei explícita, generalizando escalares, vetores e formas lineares. Conceitualmente, é um elemento de
\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{r}\otimes\underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}_{s},
com operações de produto tensorial e contração, e aparece naturalmente em várias áreas da física e geometria diferencial.

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