De acordo com o modelo polinomial simplificado do texto, se uma função quantidade de vendas, Q, é quadrática em p, o preço de venda, então:
(I) a função Receita, R, é uma função quadrática em p
(II) a função Lucro, L, é uma função cúbica em p
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei

Passo 1

O enunciado dá uma informação e faz duas afirmações a verificar. Informação dada:
  • A função quantidade de vendas Q é quadrática em p (preço de venda).
O que é pedido:
  • Verificar se (I) a função Receita R é quadrática em p;
  • Verificar se (II) a função Lucro L é cúbica em p.

Passo 2

Vamos representar matematicamente a hipótese de que Q é quadrática em p. Escrevo a forma polinomial geral:
Q(p)=a p^{2}+b p+c,
onde a,b,c são constantes (com a\neq0 para que seja realmente quadrática). Aqui p é o preço, Q(p) é a quantidade vendida como função do preço.

Passo 3

Definição de Receita: a receita é preço vezes quantidade vendida. Portanto
R(p)=p\cdot Q(p).
Substituindo a forma de Q(p) temos
R(p)=p\cdot\bigl(a p^{2}+b p+c\bigr)=a p^{3}+b p^{2}+c p.
Isto é um polinômio de grau 3 em p (termo líder a p^{3}). Logo R é cúbica e não quadrática. Conclusão parcial: a afirmação (I) é falsa.

Passo 4

Definição de Lucro: o lucro é Receita menos Custo total. Escrevemos
L(p)=R(p)-C\bigl(Q(p)\bigr).
No “modelo polinomial simplificado” é padrão assumir que o custo total tem uma parte variável linear em Q mais um custo fixo, isto é
C(Q)=v\,Q+F,
onde v é o custo variável por unidade e F é custo fixo (constante). Esta é a suposição mais simples e usual em modelos polinomiais simplificados.

Passo 5

Substituindo Q(p) na função custo obtemos
C\bigl(Q(p)\bigr)=v\bigl(a p^{2}+b p+c\bigr)+F = v a p^{2}+v b p+v c+F,
que é um polinômio de grau 2 em p. Já vimos que
R(p)=a p^{3}+b p^{2}+c p
é de grau 3. Portanto
L(p)=R(p)-C\bigl(Q(p)\bigr)=a p^{3}+\underbrace{(b-v a)}_{(\text{coef. }p^{2})}p^{2}+\underbrace{(c-v b)}_{(\text{coef. }p)}p-\bigl(v c+F\bigr),
que é um polinômio de grau 3 em p. Logo, sob a suposição padrão de custo com parte variável linear em Q, o lucro L é cúbico em p. Conclusão parcial: a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 6

Observação importante (para ficar esperto na prova): se a função custo tivesse dependência não linear em Q (por exemplo C(Q) quadrática em Q), ao substituir Q(p) quadrática poderia resultar em C(p) de grau maior (por exemplo grau 4 em p), e aí o grau de L poderia ser diferente. Mas no modelo polinomial simplificado usual assume-se custo variável linear em Q, o que leva ao resultado acima.

Resposta

Apenas (II) é Verdadeira

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