Assinale o valor da seguinte tendência: \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1000 x^{2}-x^{3}\right) :
(a) 0
(b) \infty
(c) -\infty
(d) indefinido
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede o valor da tendência
\lim_{x\to -\infty}\left(1000x^{2}-x^{3}\right)
As opções são: (a) 0, (b) \infty, (c) -\infty, (d) indefinido. Vou listar o que temos: uma expressão polinomial de grau 3, com termos 1000x^{2} e -x^{3}. A pergunta é qual é o comportamento dessa expressão quando x vai para menos infinito.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): para polinômios, o termo de mais alta potência domina o comportamento quando |x| fica muito grande. Mais precisamente, se
p(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
com a_n\neq0, então, quando x\to\pm\infty, o sinal e a ordem de grandeza de p(x) são determinados por a_nx^{n}. Por quê? Porque os demais termos são de ordens inferiores (por exemplo x^{n-1}/x^{n}=1/x\to0), então ficam negligenciáveis diante de x^{n}. Vou usar essa ideia aqui.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso polinômio. A expressão é de grau 3 e o termo de maior grau é -x^{3}. Uma forma clara de ver o comportamento é fatorar por x^{3}:
1000x^{2}-x^{3}=x^{3}\!\left(\frac{1000x^{2}}{x^{3}}-1\right)=x^{3}\!\left(\frac{1000}{x}-1\right).
Agora analiso cada fator quando x\to -\infty.

Passo 4

Análise dos fatores:
  • Para x\to -\infty vale \displaystyle x^{3}\to -\infty porque a potência ímpar preserva o sinal de x.
  • Para x\to -\infty vale \displaystyle \frac{1000}{x}\to 0. Portanto
\frac{1000}{x}-1 \to -1.
Assim o fator dentro do parêntese tende para -1.

Passo 5

Concluo o produto: como x^{3}\to -\infty e \left(\dfrac{1000}{x}-1\right)\to -1, o produto tende a
(-\infty)\times(-1)=+\infty.
Ou seja, o termo -x^{3} domina e faz a expressão crescer sem limite para +\infty quando x\to -\infty. (Se quiser uma checagem numérica rápida: para x=-1000 tem-se 1000x^{2}-x^{3}=1000\cdot10^{6}-(-10^{9})=10^{9}+10^{9}=2\cdot10^{9}, um número positivo grande — consistente com o resultado.)

Passo 6

Interpretação final para marcar a opção: o limite é +\infty, então a alternativa correta é a (b).

Resposta

(b) \infty

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