De acordo com a teoria da relatividade, a massa de uma partícula depende da sua velocidade v da seguinte maneira:
m=f(v)=m0raiz1-v^2 / c^2
em que m0 é a constante de massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz no vácuo.
(a) Ide ifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(b) Iden que, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de f.
(c) Faça u esboço do gráfico de f utilizando as informações dos itens acima e outras que julgar necessárias.

Passo 1

O enunciado define a função
f(v)=m0raiz1-v^2c^2
no domínio -c<v<c. Pede-se
(a) pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) esboço do gráfico usando as informações anteriores.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f usando regra da cadeia:
f'(v) = m0,ddvl(1-v^2c^2r)^-1/2 = m0,vc^2l(1-v^2c^2r)^-3/2
O único zero de f'(v) é v=0. Como l(1-tfracv^2c^2r)^-3/2>0 em todo (-c,c), o sinal de f'(v) é o mesmo de v. Portanto:
- Em (-c,0), v<0 implica f'(v)<0, logo f é decrescente.
- Em (0,c), v>0 implica f'(v)>0, logo f é crescente.

Passo 3

Agora a segunda derivada, aplicando produto e cadeia:
f''(v) =m0c^2l(1-v^2c^2r)^-5/2 l(1+2v^2c^2r)
Todos os fatores são positivos para -c<v<c, logo f''(v)>0 em todo o domínio. Não há mudança de sinal em f'', portanto não existem pontos de inflexão e a função é côncava para cima em toda parte.

Passo 4

Com isso concluímos que f é uma função par, atinge valor mínimo f(0)=m0 em v=0, e cresce de forma convexa até explodir em +infty quando vtopm c. Há assimptotas verticais em v=pm c.

Resposta

(a) Ponto crítico: v=0.
Em (-c,0), f decresce; em (0,c), f cresce.
(b) Não há pontos de inflexão; f é sempre côncava para cima.
(c) Gráfico par, mínimo em (0,m0), com assimptotas verticais em v=pm c e crescimento convexo até +infty.

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