De acordo com a teoria da relatividade, a massa de uma partícula depende da sua velocidade
da seguinte maneira:
em que
é a constante de massa da partícula em repouso e
é a velocidade da luz no vácuo.
(a) Ide ifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(b) Iden que, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de
.
(c) Faça u esboço do gráfico de
utilizando as informações dos itens acima e outras que julgar necessárias.
(a) Ide ifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
(b) Iden que, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de
(c) Faça u esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
no domínio
. Pede-se
(a) pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) esboço do gráfico usando as informações anteriores.
(a) pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira de
usando regra da cadeia:
O único zero de
é
. Como
em todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto:
- Em ,
implica
, logo
é decrescente.
- Em ,
implica
, logo
é crescente.
- Em
- Em
Passo 3
Agora a segunda derivada, aplicando produto e cadeia:
Todos os fatores são positivos para
, logo
em todo o domínio. Não há mudança de sinal em
, portanto não existem pontos de inflexão e a função é côncava para cima em toda parte.
Passo 4
Com isso concluímos que
é uma função par, atinge valor mínimo
em
, e cresce de forma convexa até explodir em
quando
. Há assimptotas verticais em
.
Resposta
(a) Ponto crítico:
.
Em ,
decresce; em
,
cresce.
(b) Não há pontos de inflexão; é sempre côncava para cima.
(c) Gráfico par, mínimo em , com assimptotas verticais em
e crescimento convexo até
.
Em
(b) Não há pontos de inflexão;
(c) Gráfico par, mínimo em