Esboce a região de integração e calcule a integral.
\left.\int_{0}^{1} \int_{2}{x}\left(x{2}\right)-2 x y\right) d y d x
\left.\int_{0}^{1} \int_{2}{x}\left(x{2}\right)-2 x y\right) d y d x
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região determinada pelos limites
e depois calcular
O conteúdo envolvido é interpretação geométrica de integrais iteradas e cálculo de integrais simples.
Passo 2
Para visualizar a região, note que a reta
e a reta horizontal
só se cruzam em
. Como
varia de
até
, temos sempre
, então o intervalo
está “invertido”. Ainda assim, podemos trocar a ordem dos limites introduzindo um sinal negativo, o que revela a região real de integração:
Assim a região “útil” é
que é o trapézio no plano com vértices
,
,
,
.
Passo 3
Usando a troca dos limites, escrevemos
Agora calculamos a integral interna em
:
Passo 4
Substituindo na integral externa e lembrando do sinal “–”: