Esboce a região de integração e calcule a integral.
\left.\int_{0}^{1} \int_{2}{x}\left(x{2}\right)-2 x y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região determinada pelos limites
0 <= x <= 1, 2 <= y <= x
e depois calcular
I = integral0^1integral2^xl(x^2-2xyr),dy,dx
O conteúdo envolvido é interpretação geométrica de integrais iteradas e cálculo de integrais simples.

Passo 2

Para visualizar a região, note que a reta y=x e a reta horizontal y=2 só se cruzam em x=2. Como x varia de 0 até 1, temos sempre x<2, então o intervalo [2,x] está “invertido”. Ainda assim, podemos trocar a ordem dos limites introduzindo um sinal negativo, o que revela a região real de integração:
integral2^x(cdots),dy = -integralx^2(cdots),dy
Assim a região “útil” é
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<=2,
que é o trapézio no plano com vértices (0,0), (0,2), (1,1), (1,2).

Passo 3

Usando a troca dos limites, escrevemos
I=-integral0^1integraly=x^y=2l(x^2-2xyr),dy,dx
Agora calculamos a integral interna em y:
integralx^2l(x^2-2xyr),dy = l[x^2y - x,y^2r]y=x^y=2 = l(2x^2-4xr)-l(x^3-x^3r) =2x^2-4x

Passo 4

Substituindo na integral externa e lembrando do sinal “–”:
I = -integral0^1l(2x^2-4xr),dx = -l[tfrac23x^3-2x^2r]0^1 = -l(tfrac23-2r) = -l(-tfrac43r) = tfrac43

Resposta

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