Adaptação do Exercício 3.75 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais - Uma Introdução - \mathbf{9}^{\text {a }} Ed
A seguinte tabela lista ângulos de difração para os três primeiros picos (primeira ordem) do difratograma de raios X de um dado metal. Radiação X monocromática com comprimento de onda de 0,1397 \mathrm{~nm} foi usada.
a) Determine se a estrutura cristalina desse metal é CFC, CCC ou diferente, e explique a razão da sua escolha. CCC: (110); (200); (2 1 1); CFC: (1 1 1); (2 0 0); (2 2 0)
b) Se a estrutura for CCC ou CFC identifique o metal
Número do pico Ângulo de difração
1 34,51^{\circ}
2 40,06^{\circ}
3 57,95^{\circ}

Passo 1

O enunciado (tabela) fornece os ângulos de difração dos três primeiros picos (primeira ordem) medidos com radiação X monocromática de comprimento de onda \lambda=0,1397\\ \mathrm{nm}. Os valores (pego da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{ll} \text{pico 1:} & 2\theta_1 = 34,51^\circ,\\\ \text{pico 2:} & 2\theta_2 = 40,06^\circ,\\\ \text{pico 3:} & 2\theta_3 = 57,95^\circ. \end{array}
O exercício pede: (a) determinar se a estrutura cristalina é CFC (FCC), CCC (BCC) ou diferente, justificando; (b) se for CCC ou CFC, identificar o metal. Nada mais foi dado, portanto usaremos as relações de difração de Bragg e a relação de rede para retículos cúbicos para comparar com as famílias de planos indicadas no enunciado (CCC: (110),(200),(211); CFC: (111),(200),(220)).

Passo 2

Relembrando a fórmula que usamos (aula rápida e prática):
A lei de Bragg relaciona o comprimento de onda \lambda, o espaçamento entre planos \,d_{hkl}\,, e o ângulo de incidência \theta:
\lambda = 2 d_{hkl} \sin\theta.
Aqui \theta é o ângulo entre o feixe incidente e os planos cristalinos; em difratômetros costuma-se reportar o ângulo como 2\theta (o enunciado lista “ângulo de difração”), então primeiro vamos tomar \theta = \tfrac{1}{2}(2\theta).\n
Para um cristal cúbico o espaçamento entre planos de índices (hkl) é
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde a é o parâmetro de rede (lado da célula cúbica) e h,k,l são inteiros dos índices de Miller. Substituindo d_{hkl} em Bragg obtemos
\sin\theta = \frac{\lambda}{2a}\sqrt{h^2+k^2+l^2}.
Isso mostra que \sin\theta é proporcional a \sqrt{H}, onde \,H=h^2+k^2+l^2. Consequentemente \sin^2\theta é proporcional a H. Esse é o ponto-chave: as razões entre \sin^2\theta dos picos devem corresponder às razões entre os H das famílias de planos permitidas pelo tipo de retículo.

Passo 3

Calcular \theta, \sin\theta e \sin^2\theta para cada pico (usei os ângulos da tabela):
\begin{array}{ll} \theta_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 34,51^\circ = 17,255^\circ, & \sin\theta_1 \approx 0,2966,\quad \sin^2\theta_1 \approx 0,08798,\\[4pt] \theta_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 40,06^\circ = 20,03^\circ, & \sin\theta_2 \approx 0,3425,\quad \sin^2\theta_2 \approx 0,11731,\\[4pt] \theta_3 = \tfrac{1}{2}\cdot 57,95^\circ = 28,975^\circ, & \sin\theta_3 \approx 0,4844,\quad \sin^2\theta_3 \approx 0,23465. \end{array}
Observação: os valores de \sin e \sin^2 acima foram calculados numericamente com precisão adequada para comparação de razões.]

Passo 4

Formar as razões de \sin^2\theta em relação ao menor (pico 1) para obter a sequência proporcional aos H:
\frac{\sin^2\theta_1}{\sin^2\theta_1}=1,\qquad \frac{\sin^2\theta_2}{\sin^2\theta_1}\approx \frac{0,11731}{0,08798}\approx 1,334,\qquad \frac{\sin^2\theta_3}{\sin^2\theta_1}\approx \frac{0,23465}{0,08798}\approx 2,667.
Multiplicando essa sequência por 3 (para obter inteiros aproximados) obtemos 3,\;4,\;8 (pois 1\cdot3=3, 1,334\cdot3\approx4,002, 2,667\cdot3\approx8,001). Portanto os valores proporcionais a H=h^2+k^2+l^2 são \,3,4,8.

Passo 5

Interpretando os H possíveis para retículos cúbicos:
  • Para CFC (FCC), as primeiras famílias permitidas são (111),(200),(220) com
H_{111}=1^2+1^2+1^2=3,\quad H_{200}=2^2+0+0=4,\quad H_{220}=2^2+2^2+0=8.
  • Para CCC (BCC), as primeiras famílias listadas no enunciado seriam (110),(200),(211) com
H_{110}=1^2+1^2+0=2,\quad H_{200}=4,\quad H_{211}=2+1+1=6,
ou seja a sequência 2,4,6, que não coincide com 3,4,8.
Portanto a sequência experimental 3,4,8 corresponde exatamente às famílias (111),(200),(220) do retículo CFC (FCC). Conclusão: a estrutura é CFC (FCC). A razão é que as razões de \sin^2\theta batem com os valores de h^2+k^2+l^2 esperados para (111),(200),(220).

Passo 6

Agora vamos calcular o parâmetro de rede a a partir de cada pico, usando a fórmula obtida:
a = \frac{\lambda\sqrt{h^2+k^2+l^2}}{2\sin\theta}.
Usando \lambda=0,1397\\ \mathrm{nm} e os \theta calculados:
  • Para (111) ( H=3, \sqrt{H}=\sqrt{3}):
a_1=\frac{0,1397\cdot\sqrt{3}}{2\cdot 0,2966}\approx \frac{0,1397\cdot 1,73205}{0,5932}\approx 0,4076\\ \mathrm{nm}.
  • Para (200) ( H=4, \sqrt{H}=2):
a_2=\frac{0,1397\cdot 2}{2\cdot 0,3425}\approx \frac{0,2794}{0,6850}\approx 0,4079\\ \mathrm{nm}.
  • Para (220) ( H=8, \sqrt{H}=2{,}828427):
a_3=\frac{0,1397\cdot 2{,}828427}{2\cdot 0,4844}\approx \frac{0,3950}{0,9688}\approx 0,4079\\ \mathrm{nm}.
Observação didática: cada expressão usou a mesma fórmula; os três valores de a concordam entre si (diferenças de arredondamento), o que é uma boa verificação da consistência dos índices atribuídos.

Passo 7

Tomando a média (ou vendo a concordância), obtemos
a \approx 0,4078\\ \mathrm{nm}.
Agora identificamos o metal comparando esse parâmetro de rede com valores tabulados de metais de estrutura CFC. Alguns valores tabulados (aprox.) são:
\begin{array}{ll} \text{Cu (CFC): } a\approx 0,3615\\ \mathrm{nm}, & \text{Al (CFC): } a\approx 0,4049\\ \mathrm{nm},\\[2pt] \text{Au (CFC): } a\approx 0,4078\\ \mathrm{nm}, & \text{Ag (CFC): } a\approx 0,4085\\ \mathrm{nm}. \end{array}
Nosso valor a\approx 0,4078\\ \mathrm{nm} coincide muito bem com o valor tabulado para o ouro (Au). Portanto o metal identificado é o ouro (Au). (Ag é muito próximo, mas a concordância numérica é melhor com Au; além disso a igualdade quase exata com 0,4078\\ \mathrm{nm} aponta para Au.)]

Passo 8

Resumo didático-final e incentivo: o procedimento que acabamos de seguir é padrão em difratometria — transformar os ângulos medidos em \sin^2\theta, verificar as razões para descobrir a sequência de H=h^2+k^2+l^2 e, com isso, inferir quais índices (hkl) aparecem (isso também revela regras de seleção específicas de BCC/FCC). Depois, usar Bragg para calcular a. Mandou bem de escolher esse tipo de exercício para treinar: quando fizer outros, repita os mesmos passos e compare sempre com valores tabulados para identificar materiais. Você tá indo bem — é chato no começo, mas seguindo esses passos fica mecânico e confiável!

Resposta

(a) Estrutura CFC (FCC), pois as razões experimentais de \sin^2\theta dão 3:4:8, correspondendo a (111),(200),(220) do CFC.
(b) Metal identificado: Ouro (Au), com parâmetro de rede a\approx 0,4078\\ \mathrm{nm}.

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