Adaptação do Exercício 3.75 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais - Uma Introdução -
Ed
A seguinte tabela lista ângulos de difração para os três primeiros picos (primeira ordem) do difratograma de raios
de um dado metal. Radiação X monocromática com comprimento de onda de
foi usada.
a) Determine se a estrutura cristalina desse metal é CFC, CCC ou diferente, e explique a razão da sua escolha. CCC: (110); (200); (2 1 1); CFC: (1 1 1); (2 0 0); (2 2 0)
b) Se a estrutura for CCC ou CFC identifique o metal
Número do pico
Ângulo de difração
1
2
3
a) Determine se a estrutura cristalina desse metal é CFC, CCC ou diferente, e explique a razão da sua escolha. CCC: (110); (200); (2 1 1); CFC: (1 1 1); (2 0 0); (2 2 0)
b) Se a estrutura for CCC ou CFC identifique o metal
| Número do pico | Ângulo de difração |
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
Passo 1
O enunciado (tabela) fornece os ângulos de difração dos três primeiros picos (primeira ordem) medidos com radiação X monocromática de comprimento de onda
. Os valores (pego da tabela do enunciado) são:
O exercício pede: (a) determinar se a estrutura cristalina é CFC (FCC), CCC (BCC) ou diferente, justificando; (b) se for CCC ou CFC, identificar o metal. Nada mais foi dado, portanto usaremos as relações de difração de Bragg e a relação de rede para retículos cúbicos para comparar com as famílias de planos indicadas no enunciado (CCC:
; CFC:
).
Passo 2
Relembrando a fórmula que usamos (aula rápida e prática):
A lei de Bragg relaciona o comprimento de onda , o espaçamento entre planos
, e o ângulo de incidência
:
A lei de Bragg relaciona o comprimento de onda
Aqui
é o ângulo entre o feixe incidente e os planos cristalinos; em difratômetros costuma-se reportar o ângulo como
(o enunciado lista “ângulo de difração”), então primeiro vamos tomar
.\n
Para um cristal cúbico o espaçamento entre planos de índices é
Para um cristal cúbico o espaçamento entre planos de índices
onde
é o parâmetro de rede (lado da célula cúbica) e
são inteiros dos índices de Miller. Substituindo
em Bragg obtemos
Isso mostra que
é proporcional a
, onde
. Consequentemente
é proporcional a
. Esse é o ponto-chave: as razões entre
dos picos devem corresponder às razões entre os
das famílias de planos permitidas pelo tipo de retículo.
Passo 3
Calcular
,
e
para cada pico (usei os ângulos da tabela):
Observação: os valores de
e
acima foram calculados numericamente com precisão adequada para comparação de razões.]
Passo 4
Formar as razões de
em relação ao menor (pico 1) para obter a sequência proporcional aos
:
Multiplicando essa sequência por
(para obter inteiros aproximados) obtemos
(pois
,
,
). Portanto os valores proporcionais a
são
.
Passo 5
Interpretando os
possíveis para retículos cúbicos:
- Para CFC (FCC), as primeiras famílias permitidas são
com
- Para CCC (BCC), as primeiras famílias listadas no enunciado seriam
com
ou seja a sequência
, que não coincide com
.
Portanto a sequência experimental corresponde exatamente às famílias
do retículo CFC (FCC). Conclusão: a estrutura é CFC (FCC). A razão é que as razões de
batem com os valores de
esperados para
.
Portanto a sequência experimental
Passo 6
Agora vamos calcular o parâmetro de rede
a partir de cada pico, usando a fórmula obtida:
Usando
e os
calculados:
- Para
( , ):
- Para
( , ):
- Para
( , ):
Observação didática: cada expressão usou a mesma fórmula; os três valores de
concordam entre si (diferenças de arredondamento), o que é uma boa verificação da consistência dos índices atribuídos.
Passo 7
Tomando a média (ou vendo a concordância), obtemos
Agora identificamos o metal comparando esse parâmetro de rede com valores tabulados de metais de estrutura CFC. Alguns valores tabulados (aprox.) são:
Nosso valor
coincide muito bem com o valor tabulado para o ouro (Au). Portanto o metal identificado é o ouro (Au). (Ag é muito próximo, mas a concordância numérica é melhor com Au; além disso a igualdade quase exata com
aponta para Au.)]
Passo 8
Resumo didático-final e incentivo: o procedimento que acabamos de seguir é padrão em difratometria — transformar os ângulos medidos em
, verificar as razões para descobrir a sequência de
e, com isso, inferir quais índices
aparecem (isso também revela regras de seleção específicas de BCC/FCC). Depois, usar Bragg para calcular
. Mandou bem de escolher esse tipo de exercício para treinar: quando fizer outros, repita os mesmos passos e compare sempre com valores tabulados para identificar materiais. Você tá indo bem — é chato no começo, mas seguindo esses passos fica mecânico e confiável!
Resposta
(a) Estrutura CFC (FCC), pois as razões experimentais de
dão
, correspondendo a
do CFC.
(b) Metal identificado: Ouro (Au), com parâmetro de rede .
(b) Metal identificado: Ouro (Au), com parâmetro de rede