1. Exercício 3.8 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução - \mathbf{9}^{\mathrm{a}} Ed.
O estrôncio possui uma estrutura cristalina CFC, um raio atômico de 0,215 \mathrm{~nm} e um peso atômico de 87,62 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule a massa específica teórica para o estrôncio.
\rho=\frac{n A}{V_{C} N_{A}}\left\{\begin{array}{l} n=\text { número de átomos associados a cada } \\\ \text { célula unitária } \\\ A=\text { massa atômica } \\\ V c=\text { Volume da célula unitária } \\\ N a=\text { número de Avogadro }\left(6,02.10^{23}\right. \\\ \text { átomos } / \mathrm{mol}) \end{array}\right.úáéáôéáúá

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa específica teórica do estrôncio. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Estrutura cristalina: CFC (cúbica de faces centradas)} \\\ &\text{Raio atômico: } r = 0,215\\ \mathrm{nm} \\\ &\text{Massa atômica: } A = 87,62\\ \mathrm{g/mol} \\\ &\text{Constante de Avogadro: } N_A = 6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1} \end{aligned}úôô
O que precisamos devolver: a massa específica teórica \rho do estrôncio (unidade desejada: \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3).

Passo 2

Quantos átomos há por célula unitária em uma estrutura CFC?
Explicação didática: numa célula cúbica temos 8 átomos nos vértices (cada vértice pertence a 8 células então contribuem com 1/8 cada) e 6 átomos no centro de cada face (cada face pertence a 2 células então contribuem com 1/2 cada). Logo:
n = 8\cdot\frac{1}{8} + 6\cdot\frac{1}{2} = 1 + 3 = 4.
Portanto, em uma célula unitária CFC há n=4 átomos efetivos.

Passo 3

Relação entre raio atômico r e parâmetro de rede a para CFC.
Descrição: nos cristais CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e corresponde a quatro raios atômicos (quatro semidiâmetros) porque ao longo dessa diagonal tocam-se dois átomos inteiros mais duas metades, totalizando 4r. Assim:
\sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
Aqui a é o lado da célula cúbica (unidade de comprimento).

Passo 4

Converter unidades e calcular a.
Primeiro convertemos r para centímetros (porque queremos \rho em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3). Sabendo que 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}:
r = 0,215\\ \mathrm{nm} = 0,215\times10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 2,15\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Agora calculamos a:
2\sqrt{2}\approx 2,828427\quad\Rightarrow\quad a = 2\sqrt{2}\,r \approx 2,828427\times(2,15\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}).
Fazendo a multiplicação:
a \approx 6,079312\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular o volume da célula unitária V_C.
Para uma célula cúbica:
V_C = a^3.
Usando o valor de a calculado:
V_C = \bigl(6,079312\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\bigr)^3 \approx 2,24774\times10^{-22}\\ \mathrm{cm}^3.
Explicando o cálculo do cubo: elevamos a mantissa ao cubo e somamos os expoentes ( (10^{-8})^3=10^{-24}), obtendo o valor indicado.

Passo 6

Calcular a massa de átomos contidos em uma célula unitária.
A massa de n átomos é dada por:
m_{\text{célula}}=\frac{n\,A}{N_A},é
onde A está em \mathrm{g/mol} e N_A em \mathrm{mol}^{-1}, então m_{\text{célula}}é sai em gramas. Substituindo n=4:
m_{\text{célula}}=\frac{4\times87,62}{6,02\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.é
Calculando numericamente:
4\times87,62 = 350,48
\frac{350,48}{6,02}\approx 58,2143\quad\Rightarrow\quad m_{\text{célula}}\approx 5,82143\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
(Observe que dividimos por 10^{23} ao aplicar N_A.)

Passo 7

Calcular a massa específica \rho.
A definição usada é:
\rho=\frac{\text{massa da célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{m_{\text{célula}}}{V_C}.ééé
Substituindo os valores numéricos:
\rho \approx \frac{5,82143\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{2,24774\times10^{-22}\\ \mathrm{cm}^3}\approx 2,5907\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
Arredondando para três algarismos significativos (próprio para dados fornecidos):
\rho \approx 2,59\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.

Passo 8

Checagem rápida e motivação: o valor obtido está próximo do valor experimental conhecido ( \sim2{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3), o que indica que o procedimento (usar n=4, relação a=2\sqrt{2}r, e a fórmula \rho=nA/(V_CN_A)) foi aplicado corretamente. Você foi bem — essa é a rotina típica para calcular densidade teórica de metais cristalinos na prova.

Resposta

\rho = 2,59\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3

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