(adaptado de PORTO, 2006, pg. 121) No sistema adutor abaixo, todas as tubulações são de aço soldado com coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams \mathrm{C}=120. O traçado impõe a passagem da tubulação pelo ponto B de cota geométrica 514,4 \mathrm{~m}. O diâmetro do trecho CD é de 160 mm e a vazão descarregada pelo reservatório superior é de 26 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Dimensione os outros trechos, sujeitos a:
  • A carga de pressão no ponto B deve ser de 2,0 \mathrm{~m};
  • As vazões que chegam aos reservatórios E e D devem ser iguais.

Passo 1

O enunciado pede para dimensionar os trechos restantes do sistema (diâmetros), tendo as seguintes informações dadas pelo enunciado e pela figura (usei a figura para pegar comprimentos e cotas; atenção: a figura mostra D_3=150\\ \text{mm} enquanto o enunciado textual diz D_{CD}=160\\ \text{mm}; vou seguir a instrução textual e usar D_3=160\\ \text{mm}, e usei da figura os comprimentos e as cotas):
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=120.
  • Vazão total descarregada pelo reservatório A: \;Q_A=26\\ \text{L/s} = 0{,}026\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Cotas (altitudes geométricas) das superfícies livres: \text{A: }520{,}0\\ \text{m},\quad \text{B: }514{,}4\\ \text{m},\quad \text{D: }507{,}2\\ \text{m},\quad \text{E: }495{,}0\\ \text{m}.(Peguei as cotas da figura.)
  • A carga de pressão (carga-p) exigida em B é \;p_B/\gamma = 2{,}0\\ \text{m}. Logo a carga piezométrica em B é: H_B = z_B + \frac{p_B}{\gamma} = 514{,}4 + 2{,}0 = 516{,}4\\ \text{m}.
  • Comprimentos (peguei da figura): L_1=800\\ \text{m},\quad L_2=450\\ \text{m},\quad L_3=200\\ \text{m},\quad L_4=360\\ \text{m}.
  • O enunciado (texto) informa: o diâmetro do trecho CD (ramal para o reservatório D) é \;D_3=160\\ \text{mm}. (Notei a discrepância com a figura; decidi usar D_3=160\\ \text{mm} conforme o enunciado textual.)
  • Objetivo prático para dimensionamento: encontrar os diâmetros dos outros trechos (isto é, D_1, D_2, D_4) de modo que:
    • a carga de pressão em B seja \;2{,}0\\ \text{m} (já transformada em H_B acima);
    • as vazões que chegam aos reservatórios D e E sejam iguais (portanto cada uma receberá metade da vazão total).

Passo 2

Entendimento hidráulicamente simples do que precisa acontecer:
  • Do reservatório A até B há perda de carga h_1. Como a superfície de A tem carga H_A = 520{,}0\\ \text{m} (superfície livre, pressão atmosférica), a perda h_1 entre A e B deve ser h_1 = H_A - H_B = 520{,}0 - 516{,}4 = 3{,}6\\ \text{m}.Essa perda h_1 ocorre ao longo do trecho de comprimento L_1=800\\ \text{m} e vazão Q_A=0{,}026\\ \text{m}^3/\text{s}. Vamos usar isso para achar D_1.
  • Depois de B o escoamento segue até C (trecho 2) e a partir de C bifurca em dois ramos: para D (trecho 3) e para E (trecho 4). A condição “vazões que chegam aos reservatórios E e D devem ser iguais” implica: Q_3 = Q_4 = \frac{Q_A}{2} = \frac{0{,}026}{2} = 0{,}013\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Aplicando conservação de energia entre B e as superfícies livres dos reservatórios (pressão atmosférica nelas, logo H_D=z_D, H_E=z_E): H_B - H_D = h_2 + h_3,\qquad H_B - H_E = h_2 + h_4,onde h_2 é perda em B\to C, h_3 perda em C\to D, h_4 perda em C\to E. Subtraindo as duas equações obtemos: h_4 - h_3 = H_E - H_D = (516{,}4-495{,}0) - (516{,}4-507{,}2) = 21{,}4 - 9{,}2 = 12{,}2\\ \text{m}.Ou mais diretamente: h_2 + h_3 = H_B - H_D = 516{,}4 - 507{,}2 = 9{,}2\\ \text{m},
h_2 + h_4 = H_B - H_E = 516{,}4 - 495{,}0 = 21{,}4\\ \text{m}.
Portanto, se calcularmos h_3 (conhecendo Q_3,L_3,D_3), podemos obter h_2, daí obter D_2; e com h_2 também obtemos h_4 e então D_4.

Passo 3

Apresentação da fórmula que vamos usar (Hazen–Williams) e como inverter para obter o diâmetro:
  • Fórmula de Hazen–Williams (forma prática para perda de carga total em metros): h_f = 10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}},onde:
    • h_f é a perda de carga (m),
    • L é o comprimento do trecho (m),
    • Q é a vazão (m^3/s),
    • C é o coeficiente de rugosidade (adimensional),
    • D é o diâmetro interno (m).
  • Para dimensionar o diâmetro a partir de uma perda h_f, isolamos D: D = \left(\; \frac{10{,}67\;L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;h_f}\;\right)^{1/4{,}87}.Vou usar esta expressão para calcular D_1,D_2,D_4. Em todos os cálculos usei C=120.

Passo 4

Cálculo do diâmetro do trecho 1 ( D_1) entre A e B:
  • Dados para o trecho 1: L_1=800\\ \text{m},\quad Q_1=0{,}026\\ \text{m}^3/\text{s},\quad h_1=3{,}6\\ \text{m},\quad C=120.
  • Calculo intermediário: Q_1^{1{,}852} = 0{,}026^{1{,}852} \approx 0{,}001161.
C^{1{,}852} = 120^{1{,}852} \approx 7107.
\frac{10{,}67\,L_1\,Q_1^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_1} =\frac{10{,}67\cdot 800\cdot 0{,}001161}{7107\cdot 3{,}6} \approx 0{,}0003875.
  • Aplicando a potência: D_1 = (0{,}0003875)^{1/4{,}87} \approx 0{,}200\\ \text{m} = 200\\ \text{mm}.Comentário amigo: ou seja, para que a perda entre A e B seja exatamente 3{,}6\\ \text{m} com Q=26\\ \text{L/s}, precisamos de um tubo de cerca de 200\\ \text{mm}.

Passo 5

Definição das vazões nos ramos (condição do enunciado):
  • Como as vazões que chegam a D e E devem ser iguais, cada ramo fica com: Q_3=Q_4=\frac{Q_A}{2}=\frac{26}{2}=\\\ 13\\ \text{L/s}=0{,}013\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 6

Cálculo da perda no ramo para D ( h_3) usando o diâmetro dado D_3=160\\ \text{mm}=0{,}160\\ \text{m}:
  • Dados: L_3=200\\ \text{m},\quad Q_3=0{,}013\\ \text{m}^3/\text{s},\quad D_3=0{,}160\\ \text{m},\quad C=120.
  • Calculos intermediários: Q_3^{1{,}852} = 0{,}013^{1{,}852} \approx 0{,}000324,
D_3^{4{,}87} = 0{,}160^{4{,}87} \approx 1{,}32\times 10^{-4},
C^{1{,}852}\,D_3^{4{,}87} \approx 7107\cdot 1{,}32\times 10^{-4} \approx 0{,}939.
10{,}67\,L_3\,Q_3^{1{,}852} \approx 10{,}67\cdot 200\cdot 0{,}000324 \approx 0{,}692.
  • Assim: h_3 = \frac{10{,}67\,L_3\,Q_3^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D_3^{4{,}87}} \approx \frac{0{,}692}{0{,}939} \approx 0{,}737\\ \text{m}.

Passo 7

Cálculo de h_2 (perda no trecho B\to C) a partir de h_2+h_3=9{,}2\\ \text{m}:
  • Temos: h_2 = 9{,}2 - h_3 = 9{,}2 - 0{,}737 = 8{,}463\\ \text{m}.

Passo 8

Dimensionamento do trecho 2 ( D_2) sabendo L_2, Q_2 e h_2:
  • Dados: L_2=450\\ \text{m},\quad Q_2=Q_A=0{,}026\\ \text{m}^3/\text{s},\quad h_2=8{,}463\\ \text{m},\quad C=120.
  • Aplicando a fórmula (mesmos passos numéricos do Passo 4, com L_2 e h_2): \frac{10{,}67\,L_2\,Q_2^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_2} \approx \frac{5{,}577}{71{,}07\cdot 8{,}463}\approx 9{,}27\times 10^{-5}.(detalhes: 10{,}67\cdot 450\cdot 0{,}001161 \approx 5{,}577.)
  • Portanto: D_2 = (9{,}27\times 10^{-5})^{1/4{,}87} \approx 0{,}150\\ \text{m} = 150\\ \text{mm}.

Passo 9

Cálculo de h_4 (perda no ramo para E) e dimensionamento do trecho 4 ( D_4):
  • h_2 + h_4 = 21{,}4\\ \text{m} implica h_4 = 21{,}4 - h_2 = 21{,}4 - 8{,}463 = 12{,}937\\ \text{m}.
  • Agora aplicamos Hazen–Williams para o trecho 4 com Q_4=0{,}013\\ \text{m}^3/\text{s},\\ L_4=360\\ \text{m},\\ h_4=12{,}937\\ \text{m}: \frac{10{,}67\,L_4\,Q_4^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_4} \approx \frac{1{,}244}{71{,}07\cdot 12{,}937} \approx 1{,}353\times 10^{-5}.(detalhes: 10{,}67\cdot 360\cdot 0{,}000324 \approx 1{,}244.)
  • Portanto: D_4 = (1{,}353\times 10^{-5})^{1/4{,}87} \approx 0{,}1005\\ \text{m} \approx 100\\ \text{mm}.

Passo 10

Verificação rápida (comentário de checagem): as perdas calculadas resultam em:
  • h_1\approx 3{,}6\\ \text{m} (feito, garantiu H_B),
  • h_2\approx 8{,}463\\ \text{m},
  • h_3\approx 0{,}737\\ \text{m} dando h_2+h_3\approx 9{,}2\\ \text{m} (corresponde a H_B-H_D),
  • h_4\approx 12{,}937\\ \text{m} dando h_2+h_4\approx 21{,}4\\ \text{m} (corresponde a H_B-H_E).
    Tudo consistente com os requisitos impostos.

Resposta

D_1 \approx 200\\ \text{mm}
D_2 \approx 150\\ \text{mm}
D_3 = 160\\ \text{mm} (dado pelo enunciado)
D_4 \approx 100\\ \text{mm}

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