Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de \mathrm{R} \ 6.000,00 (aluguel, energia, salários) e um custo variável deáá\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:
\bar{C}(x)=\frac{6.000}{x}+12
onde x>0 representa a quantidade de pares produzidos no mês. Com base nessa função, calcule e interprete os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \bar{C}(x)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Custo fixo mensal: \mathrm{R}\$6000.
  • Custo variável por par: \mathrm{R}\$12.
  • A função do custo médio por par é
\bar{C}(x)=\frac{6000}{x}+12,
com x>0 sendo a quantidade de pares produzidos no mês.
O que o problema pede: calcular e interpretar o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\bar{C}(x).

Passo 2

Entendendo o que significa \lim_{x\to 0^{+}}: estamos fazendo x tender a zero vindo da direita (isto é, \emph{valores positivos muito pequenos} de x). Na prática isso significa imaginar a produção caída para quantidades cada vez menores, mas sempre positivas (por exemplo x=1,0{,}1,0{,}01,\dots).

Passo 3

Escrevendo o limite da função:
\lim_{x\to 0^{+}}\bar{C}(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{6000}{x}+12\right).
Vamos analisar as duas parcelas separadamente: \dfrac{6000}{x} e 12.

Passo 4

Comportamento de \dfrac{6000}{x} quando x\to0^{+}: para x>0 e muito pequeno, o denominador fica muito pequeno, logo o quociente fica muito grande e positivo. Formalmente,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{6000}{x}=+\infty.
Uma demonstração curta: dado qualquer M>0, se escolhermos \delta=\dfrac{6000}{M}, então para 0<x<\delta vale \dfrac{6000}{x}>M. Isso mostra que a expressão cresce sem limite quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 5

Somando com a parcela constante: como
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{6000}{x}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{+}}12=12,
segue que
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{6000}{x}+12\right)=+\infty+12=+\infty.
Ou seja, a soma de um termo que diverge para +\infty com um termo finito também diverge para +\infty.

Passo 6

Ilustração numérica rápida (para fixar a ideia):
  • Se x=10, \bar{C}(10)=\dfrac{6000}{10}+12=600+12=612.
  • Se x=1, \bar{C}(1)=6000+12=6012.
  • Se x=0{,}1, \bar{C}(0{,}1)=60000+12=60012.
    Vê-se que, ao reduzir muito a produção, o custo médio por unidade explode.

Passo 7

Interpretação econômica: conforme a produção x vai para zero, o custo fixo \mathrm{R}\$6000 é dividido por um número cada vez menor de pares, fazendo com que o custo médio por par aumente sem limite. Em termos práticos: produzir pouquíssimos pares torna o custo por par extremamente alto, por isso é importante diluir os custos fixos produzindo um volume razoável.

Resposta

+\infty

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