Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de
6.000,00
\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:
onde
representa a quantidade de pares produzidos no mês. Com base nessa função, calcule e interprete os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Custo fixo mensal:
. - Custo variável por par:
. - A função do custo médio por par é
com
sendo a quantidade de pares produzidos no mês.
O que o problema pede: calcular e interpretar o limite
Passo 2
Entendendo o que significa
: estamos fazendo
tender a zero vindo da direita (isto é, \emph{valores positivos muito pequenos} de
). Na prática isso significa imaginar a produção caída para quantidades cada vez menores, mas sempre positivas (por exemplo
).
Passo 3
Escrevendo o limite da função:
Vamos analisar as duas parcelas separadamente:
e
.
Passo 4
Comportamento de
quando
: para
e muito pequeno, o denominador fica muito pequeno, logo o quociente fica muito grande e positivo. Formalmente,
Uma demonstração curta: dado qualquer
, se escolhermos
, então para
vale
. Isso mostra que a expressão cresce sem limite quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 5
Somando com a parcela constante: como
segue que
Ou seja, a soma de um termo que diverge para
com um termo finito também diverge para
.
Passo 6
Ilustração numérica rápida (para fixar a ideia):
- Se
, . - Se
, . - Se
, .
Vê-se que, ao reduzir muito a produção, o custo médio por unidade explode.
Passo 7
Interpretação econômica: conforme a produção
vai para zero, o custo fixo
é dividido por um número cada vez menor de pares, fazendo com que o custo médio por par aumente sem limite. Em termos práticos: produzir pouquíssimos pares torna o custo por par extremamente alto, por isso é importante diluir os custos fixos produzindo um volume razoável.