Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de
6.000,00
\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:
onde
representa a quantidade de pares produzidos no mês. Com base nessa função, calcule e interprete os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo foi extraído do enunciado):
- Custo fixo mensal:
. - Custo variável por par produzido:
por par. - A função do custo médio por par é
com
sendo a quantidade de pares produzidos no mês.
O que o problema pede aqui é calcular e interpretar o limite
Passo 2
Entendendo o que é o limite pedido (intuição).
- Quando escrevemos
queremos saber qual valor “se aproxima” quando cresce sem limite (isto é, quando a fábrica produz cada vez mais pares). - No modelo da função,
é a soma de duas parcelas: (o efeito do custo fixo diluído entre unidades) e (o custo variável por unidade). - Intuitivamente, conforme
aumenta muito, a fração fica muito pequena, pois o denominador cresce sem parar. Então esperamos que essa parcela vá para e que tenda a .
Passo 3
Propriedade de limites que vamos usar.
- Regra útil: se
e existem, então
- Aplicaremos essa regra com
e .
Passo 4
Calcular os limites das parcelas separadamente.
- Para a constante:
porque uma função constante tem sempre o mesmo valor.
- Para a fração:
Explicação didática por que isso é verdade: se tomarmos
para
, então
, e
quando
. Como os valores da fração podem ser tornados arbitrariamente pequenos fazendo
grande, a fração tende a
.
Passo 5
Juntando os resultados e concluindo o cálculo do limite.
Usando a propriedade de soma de limites do Passo 3 e os resultados do Passo 4, temos:
Usando a propriedade de soma de limites do Passo 3 e os resultados do Passo 4, temos:
Passo 6
Interpretação econômica prática e observações úteis (como usar isso numa prova).
- Interpretação: quando a produção cresce muito, o custo médio por par tende a
. Ou seja, o custo médio aproxima-se do custo variável por unidade porque o custo fixo ( ) fica cada vez menos relevante por unidade produzida. - Observação numérica para ficar concreto:
- Se
, (R$,18,00 por par). - Se
, (R$,12,60 por par). - Se
cresce mais, os valores se aproximam cada vez mais de .
- Se
- Observação matemática curta que pode aparecer em prova:
para , então é decrescente e possui assimptota horizontal .