Admita que \operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=1. Utilize as propriedades de determinantes para calcular:
c) \operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}a+2 c & b+2 d \\\ c & d\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá que
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = 1
e pede \displaystyle \det\begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\\ c & d\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 2\times2 e uso de operações elementares de linha.

Passo 2

Note que a segunda matriz é obtida da original aplicando-se a operação elementar na primeira linha:
R_1 \;\longrightarrow\; R_1 + 2\,R_2.
Essa operação não altera o valor do determinante. Portanto
\det\begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\\ c & d\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} =1.
Alternativamente, expandindo diretamente
\det\begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\\ c & d\end{pmatrix} =(a+2c)\,d-(b+2d)\,c =ad+2cd-bc-2dc =ad-bc =1.

Resposta

1

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