Admitindo-se \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=998,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e g=9,785 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, calcule a potência hidráulica, no SI de unidades, para as MF motoras que apresentam as seguintes características no ponto de rendimento total máximo:
$H=63,3 \mathrm{~m}, Q=339 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, n=112,5 \mathrm{rpm} \mathrm{e}
Pe =192,0 \mathrm{MW}. (Usina Hidrelétrica de Estreito: Furnas S.A. - Rio Grande).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência hidráulica associada às máquinas (no SI de unidades), usando as condições fornecidas no ponto de rendimento total máximo. Dados fornecidos:
\rho = 998{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad g = 9{,}785\\ \mathrm{m/s^{2}},
H = 63{,}3\\ \mathrm{m},\qquad Q = 339\\ \mathrm{m^{3}/s},
foram também informados n = 112{,}5\\ \mathrm{rpm} e P_{e}=192{,}0\\ \mathrm{MW} (potência elétrica), mas o pedido é apenas a potência hidráulica.

Passo 2

Fórmula básica: a potência hidráulica disponível na queda é dada por
P_{h} = \rho\,g\,Q\,H.
Aqui:
  • \rho é a massa específica do fluido (água) em \mathrm{kg/m^{3}};
  • g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}};
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s};
  • H é a altura efetiva (queda) em \mathrm{m};
  • P_{h} resultará em watts (\mathrm{W}), como vamos mostrar.

Passo 3

Análise de unidades para ver que o resultado dá Watts:
[\rho g Q H] = \left(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^{3}}}\right)\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^{2}}}\right)\left(\frac{\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{s}}\right)\left(\mathrm{m}\right) = \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m^{2}}}{\mathrm{s^{3}}} = \mathrm{W}.
Portanto a expressão está coerente com potência no SI.

Passo 4

Calculemos numericamente em etapas para evitar erros e poder fazer sem calculadora complexa:
Primeiro calcule \rho g:
\rho g = 998{,}2 \times 9{,}785 = 9\,767{,}387\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^{3}}}.
(Observe que \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^{2}}=\mathrm{N}, então \rho g tem unidade \mathrm{N/m^{3}}.)
Depois calcule QH:
QH = 339 \times 63{,}3 = 21\,458{,}7\\ \frac{\mathrm{m^{4}}}{\mathrm{s}}.

Passo 5

Agora multiplique os dois resultados para obter P_{h}:
P_{h} = (\rho g)\,(QH) = 9\,767{,}387 \times 21\,458{,}7 = 209\,595\,426{,}4\\ \mathrm{W}.
Convertemos para megawatts (dividindo por 10^{6}):
P_{h} \approx 209{,}6\\ \mathrm{MW}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil na prova): comparando com a potência elétrica fornecida P_{e}=192{,}0\\ \mathrm{MW}, a eficiência global hidráulica→elétrica seria
\eta = \frac{P_{e}}{P_{h}} = \frac{192{,}0}{209{,}595\,426{,}4/10^{6}} \approx 0{,}916 \approx 91{,}6\%.
Isto só para você ter uma ideia se o valor calculado faz sentido (eficiência próxima a 90\% é razoável para turbinas/geradores bem projetados).

Resposta

\;P_{h}=209\,595\,426{,}4\\ \mathrm{W}\\ (\approx 209{,}6\\ \mathrm{MW})

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