Admitindo-se \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=998,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e g=9,785 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, calcule a potência hidráulica, no SI de unidades, para as MF motoras que apresentam as seguintes características no ponto de rendimento total máximo:
H=126 \mathrm{~m}, Q=659 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, n=92,3 \mathrm{rpm} e n=90,9 \mathrm{rpm} e P e=750 \mathrm{MW}. (Usina Hidrelétrica de Itaipu: Itaipu Binacional - Rio Paraná).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: calcular a potência hidráulica (no SI) para as máquinas (MF motoras) nas condições fornecidas.
  • Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
    \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}=998{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (densidade da água)
    g=9{,}785\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (aceleração da gravidade)
    H=126\\ \mathrm{m} (carga ou altura hidráulica)
    Q=659\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} (vazão)
    dois valores de rotação: n=92{,}3\\ \mathrm{rpm} e n=90{,}9\\ \mathrm{rpm} (foram informados, mas não são necessários para calcular potência hidráulica)
    P_{e}=750\\ \mathrm{MW} (potência elétrica entregue)
Observação importante (do enunciado): a potência hidráulica é a potência disponível na água antes das perdas e conversões da máquina; a fórmula básica é conhecida e usaremos os dados acima.

Passo 2

Fórmula que usamos e interpretação das grandezas
A potência hidráulica (potência teórica disponível da água) é dada por:
P_{h}=\rho\,g\,Q\,H.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido (aqui água), em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • g é a aceleração da gravidade, em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Q é a vazão volumétrica, em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • H é a carga (altura) em metros, em \mathrm{m}.
  • O produto \rho g Q H tem unidade \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\cdot \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\cdot \mathrm{m}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{3}=\mathrm{W}, que é Watt (SI) — ou seja, dá potência.
Então vamos aplicar essa fórmula com os números dados.

Passo 3

Cálculo passo a passo — produto \rho g
Primeiro calculo \rho g:
\rho g = 998{,}2\cdot 9{,}785.
Faço a conta por partes: 1000\cdot 9{,}785 = 9785. Subtraio 1{,}8\cdot 9{,}785 = 17{,}613 (porque 998{,}2 = 1000 - 1{,}8). Logo
\rho g = 9785 - 17{,}613 = 9767{,}387\\ (\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{2}).

Passo 4

Cálculo passo a passo — produto QH e então P_{h}
Calculo QH:
QH = 659\cdot 126 = 659\cdot(100+26) = 65900 + 17134 = 83034\\ (\mathrm{m}^{4}/\mathrm{s}).
Agora multiplico tudo para obter P_{h}:
P_{h} = (\rho g)\,(QH) = 9767{,}387 \cdot 83034.
Faço a multiplicação (mostrando o resultado numérico):
P_{h} \approx 811\,025\,212{,}158\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática para engenharia, podemos escrever:
P_{h} \approx 811{,}0\\ \mathrm{MW}.

Passo 5

Cálculo do rendimento total (útil para interpretação)
Como o enunciado forneceu a potência elétrica P_{e}=750\\ \mathrm{MW}, é natural calcular o rendimento total \eta (potência elétrica sobre potência hidráulica):
\eta = \frac{P_{e}}{P_{h}} = \frac{750\\ \mathrm{MW}}{811{,}025\,212{,}158\\ \mathrm{W}}.
Convertendo consistentemente:
\eta = \frac{750{,}0\times 10^{6}}{811{,}025\,212{,}158}\approx 0{,}9248.
Em porcentagem:
\eta \approx 92{,}48\%.
Interpretação rápida: isso significa que, com esses números, a máquina estaria entregando 750\\ \mathrm{MW} elétricos a partir de cerca de 811{,}0\\ \mathrm{MW} hidráulicos, o que corresponde a rendimento total muito alto ( \sim92{,}5\%), plausível para grandes unidades hidráulicas bem projetadas.

Resposta

P_{h}\approx 811\,025\,212{,}158\\ \mathrm{W} \approx 811{,}0\\ \mathrm{MW}\n
\eta=\dfrac{P_{e}}{P_{h}}\approx 0{,}9248\approx 92{,}48\%

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