Uma adutora aduz 52 \mathrm{l} / \mathrm{s} de água de um ponto a outro, com uma tubulação de cimento amianto ( \mathrm{C}=140 ) de diâmetro igual a 10^{\prime \prime}. Calcular o desnível entre os dois pontos sabendo que a adutora te, 2,7 \mathrm{~km} de comprimento.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede o desnível (diferença de cota, ou perda de carga por atrito) entre os dois pontos ligados pela adutora.
  • Dados do enunciado:
    • Vazão: Q=52\\ \mathrm{L/s}.
    • Comprimento da tubulação: L=2{,}7\\ \mathrm{km}.
    • Diâmetro da tubulação: d=10'' (dez polegadas).
    • Tubulação de cimento-amianto com coeficiente de Hazen–Williams: C=140.

Passo 2

Converter todas as unidades para o sistema SI (para usar fórmulas padrão):
  • Vazão: 52\\ \mathrm{L/s} = 52\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,052\\ \mathrm{m^3/s}. Ou seja, Q=0,052\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Comprimento: 2{,}7\\ \mathrm{km} = 2700\\ \mathrm{m}. Ou seja, L=2700\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro: 1'' = 25{,}4\\ \mathrm{mm}, então 10'' = 254\\ \mathrm{mm} = 0{,}254\\ \mathrm{m}. Ou seja, d=0,254\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escolha do método (e por que): o enunciado fornece o coeficiente C típico da fórmula empírica de Hazen–Williams, usada para água em condutos cheios. Por isso vamos usar a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por atrito. Alternativa seria Darcy–Weisbach (mais geral), mas como foi dado C é mais direto usar Hazen–Williams.

Passo 4

Apresentar a fórmula de Hazen–Williams e explicar variáveis:
A forma em unidades SI para a perda de carga total h_f (em metros) ao longo de um trecho retilíneo é
h_f = 10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;d^{4{,}87}}.
Onde:
  • h_f é a perda de carga (m) — é o desnível causado pelo atrito.
  • L é o comprimento da tubulação (m).
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), que depende do material e condição da tubulação.
  • d é o diâmetro interno da tubulação (m).
Observação rápida: os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 e a constante 10{,}67 são parte da formulação empírica desta equação em unidades SI.

Passo 5

Calcular os termos que entram na fórmula (mostrando as contas):
  1. Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = \exp\!\big(1{,}852\ln(0{,}052)\big).
Calculando numericamente:
\ln(0{,}052)\approx -2{,}9565, \qquad 1{,}852\ln(0{,}052)\approx -5{,}4745,
Q^{1{,}852}\approx e^{-5{,}4745}\approx 0{,}00418.
  1. C^{1{,}852} com C=140:
C^{1{,}852} = \exp\!\big(1{,}852\ln(140)\big).
Calculando numericamente:
\ln(140)\approx 4{,}9416, \qquad 1{,}852\ln(140)\approx 9{,}152,
C^{1{,}852}\approx e^{9{,}152}\approx 9440\\ (\text{aprox.}).
  1. d^{4{,}87} com d=0{,}254\\ \mathrm{m}:
d^{4{,}87} = \exp\!\big(4{,}87\ln(0{,}254)\big).
Calculando numericamente:
\ln(0{,}254)\approx -1{,}3705, \qquad 4{,}87\ln(0{,}254)\approx -6{,}6743,
d^{4{,}87}\approx e^{-6{,}6743}\approx 0{,}00126.
  1. Produto no denominador:
C^{1{,}852}\,d^{4{,}87}\approx 9440\times 0{,}00126 \approx 11{,}89.

Passo 6

Calcular o numerador e a perda de carga h_f:
Numerador:
10{,}67\;L\;Q^{1{,}852} = 10{,}67\times 2700\times 0{,}00418.
Calcule passo a passo:
10{,}67\times 2700 = 28809,
28809\times 0{,}00418 \approx 120{,}42.
Agora a perda de carga:
h_f = \frac{120{,}42}{11{,}89} \approx 10{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Resultado obtido: h_f\approx 10{,}12\\ \mathrm{m}. Isso significa que, por efeito do atrito na tubulação, o nível de água no ponto de descarga ficará cerca de 10{,}1\\ \mathrm{m} abaixo do nível no ponto de sucção (ou seja, é o desnível necessário para vencer as perdas por atrito, desprezando outras perdas locais ou variações de energia).
  • A ordem de grandeza (alguns metros a dezenas de metros para vários km) é razoável para esse diâmetro, essa vazão e esse material.

Resposta

h_f \approx 10{,}1\\ \mathrm{m}

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