Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
Lista clara do que temos e do que vou determinar:
- Dados:
e são constantes; é a coordenada espacial associada à direção de (ou seja, as coordenadas espaciais são na direção e na direção ); é o tempo. - Componentes do campo:
-
(observação: depende apenas de , não de nem de ); -
(depende apenas de , não de nem de ).
-
- O que vou calcular (itens clássicos e úteis para entender o fluxo; são cálculos básicos e aplicáveis em prova): (i) divergência
; (ii) vorticidade (rotacional) ; (iii) aceleração material .
Passo 2
Primeiro: divergência. Vou lembrar e explicar a fórmula e depois calcular passo a passo.
Lembrete (fórmula e explicação):
- Para um campo bidimensional em coordenadas cartesianas
com componentes e , O termo mede como varia ao longo da direção e mede como varia ao longo da direção . Se a soma for zero, o campo é incompressível (divergência nula).
Aplicando ao nosso campo:
-
. Como não depende de , tem -
. Como não depende de , tem
Portanto,
Interpretação curta: o fluxo é localmente incompressível (nenhuma fonte nem sumidouro de massa localmente) — isso é útil em provas para identificar condicionamento do escoamento.
Passo 3
Agora: vorticidade (rotacional). Vou explicar a definição e calcular.
Lembrete (fórmula e significado):
- Em 2D, normalmente se trabalha com a componente
do rotacional (a componente fora do plano), dada por Esta quantidade mede a rotação local do fluido (quanto as partículas giram em torno do eixo perpendicular ao plano).
Cálculo:
-
porque não depende de . -
Logo
Como rotacional em 3D (vetor) tem apenas componente
não nula,
Pequena interpretação: existe rotação local do campo, e seu valor decai com
como
.
Passo 4
Agora: aceleração material. Esta é uma parte que costuma cair muito em prova de mecânica dos fluidos e vale explicar com calma.
Lembrete (fórmula e explicação):
- A aceleração material (ou aceleração acompanhando a partícula) é
-
é a variação local do campo no tempo num ponto fixo; -
é o termo convectivo: mostra como a variação espacial do campo, junto com o movimento da partícula, produz aceleração (mesmo se o campo for estacionário localmente).
-
Calcule cada termo separadamente.
- Termo temporal:
-
. -
.
Logo
- Termo convectivo
.
- Primeiro escrever o operador convectivo em componentes:
- Aplicar este operador componente a componente.
Componente em
:
-
(porque ). -
Portanto
Componente em
:
-
e (pois não depende de nem de ). Logo ambos termos são zero e
Somando termo temporal + convectivo:
- Componente
: - Componente
:
Portanto a aceleração material é
Passo 5
Resumo e dicas de prova (rápido e prático):
- Sempre identifique de que variáveis depende cada componente antes de derivar (aqui
depende só de , só de ). - Para divergência, cheque dependência em cada coordenada; muitos erros vêm de derivar em relação à variável errada.
- Para rotação em 2D use
. - Para aceleração material faça passo a passo: primeiro
, depois , depois some. Em prova, escrever os passos evita perder pontos.
Resposta
\nabla\cdot\vec{V}=0
\nabla\times\vec{V}=a b e^{-b\eta},\hat{k}
\frac{D\vec{V}}{Dt}=-a b^{2} t^{2} e^{-b\eta},\hat{i}+2 b t,\hat{j}
\nabla\times\vec{V}=a b e^{-b\eta},\hat{k}
\frac{D\vec{V}}{Dt}=-a b^{2} t^{2} e^{-b\eta},\hat{i}+2 b t,\hat{j}