Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
\vec{V}=\left[a e^{-b \eta}\right] \hat{i}+b t^{2} \hat{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=\left[a e^{-b \eta}\right]\hat{i}+b t^{2}\hat{j}
Lista clara do que temos e do que vou determinar:
  • Dados: a e b são constantes; \eta é a coordenada espacial associada à direção de \hat{j} (ou seja, as coordenadas espaciais são x na direção \hat{i} e \eta na direção \hat{j}); t é o tempo.
  • Componentes do campo:
    • V_x(\,x,\eta,t)=a e^{-b \eta} (observação: depende apenas de \eta, não de x nem de t);
    • V_\eta(\,x,\eta,t)=b t^{2} (depende apenas de t, não de x nem de \eta).
  • O que vou calcular (itens clássicos e úteis para entender o fluxo; são cálculos básicos e aplicáveis em prova): (i) divergência \nabla\cdot\vec{V}; (ii) vorticidade (rotacional) \nabla\times\vec{V}; (iii) aceleração material \dfrac{D\vec{V}}{Dt}=\dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.

Passo 2

Primeiro: divergência. Vou lembrar e explicar a fórmula e depois calcular passo a passo.
Lembrete (fórmula e explicação):
  • Para um campo bidimensional em coordenadas cartesianas (x,\eta) com componentes V_x e V_\eta, \nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_\eta}{\partial \eta}.O termo \partial V_x/\partial x mede como V_x varia ao longo da direção \hat{i} e \partial V_\eta/\partial\eta mede como V_\eta varia ao longo da direção \hat{j}. Se a soma for zero, o campo é incompressível (divergência nula).
Aplicando ao nosso campo:
  • V_x=a e^{-b\eta}. Como V_x não depende de x, tem \frac{\partial V_x}{\partial x}=0.
  • V_\eta=b t^{2}. Como V_\eta não depende de \eta, tem \frac{\partial V_\eta}{\partial \eta}=0.
Portanto,
\nabla\cdot\vec{V}=0+0=0.
Interpretação curta: o fluxo é localmente incompressível (nenhuma fonte nem sumidouro de massa localmente) — isso é útil em provas para identificar condicionamento do escoamento.

Passo 3

Agora: vorticidade (rotacional). Vou explicar a definição e calcular.
Lembrete (fórmula e significado):
  • Em 2D, normalmente se trabalha com a componente z do rotacional (a componente fora do plano), dada por \omega_z=(\nabla\times\vec{V})\cdot\hat{k}=\frac{\partial V_\eta}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial \eta}.Esta quantidade mede a rotação local do fluido (quanto as partículas giram em torno do eixo perpendicular ao plano).
Cálculo:
  • \displaystyle \frac{\partial V_\eta}{\partial x}= \frac{\partial (b t^{2})}{\partial x}=0 porque V_\eta não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial \eta}= \frac{\partial (a e^{-b\eta})}{\partial \eta} = -a b e^{-b\eta}.
Logo
\omega_z = 0 - (-a b e^{-b\eta}) = a b e^{-b\eta}.
Como rotacional em 3D (vetor) tem apenas componente z não nula,
\nabla\times\vec{V}=a b e^{-b\eta}\,\hat{k}.
Pequena interpretação: existe rotação local do campo, e seu valor decai com \eta como e^{-b\eta}.

Passo 4

Agora: aceleração material. Esta é uma parte que costuma cair muito em prova de mecânica dos fluidos e vale explicar com calma.
Lembrete (fórmula e explicação):
  • A aceleração material (ou aceleração acompanhando a partícula) é \frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
    • \partial\vec{V}/\partial t é a variação local do campo no tempo num ponto fixo;
    • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo: mostra como a variação espacial do campo, junto com o movimento da partícula, produz aceleração (mesmo se o campo for estacionário localmente).
Calcule cada termo separadamente.
  1. Termo temporal:
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial t}= \frac{\partial (a e^{-b\eta})}{\partial t}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial V_\eta}{\partial t}= \frac{\partial (b t^{2})}{\partial t}=2 b t.
    Logo
\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=0\cdot\hat{i} + 2 b t\cdot\hat{j}.
  1. Termo convectivo (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
  • Primeiro escrever o operador convectivo em componentes: (\vec{V}\cdot\nabla) = V_x\frac{\partial}{\partial x}+V_\eta\frac{\partial}{\partial \eta}.
  • Aplicar este operador componente a componente.
Componente em \hat{i}:
\begin{aligned} \big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_x &= V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_\eta\frac{\partial V_x}{\partial \eta}. \end{aligned}
  • V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}=a e^{-b\eta}\cdot 0=0 (porque \partial V_x/\partial x=0).
  • V_\eta\frac{\partial V_x}{\partial \eta}= (b t^{2})\cdot(-a b e^{-b\eta}) = -a b^{2} t^{2} e^{-b\eta}.
    Portanto
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_x = -a b^{2} t^{2} e^{-b\eta}.
Componente em \hat{j}:
\begin{aligned} \big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_\eta &= V_x\frac{\partial V_\eta}{\partial x}+V_\eta\frac{\partial V_\eta}{\partial \eta}. \end{aligned}
  • \partial V_\eta/\partial x=0 e \partial V_\eta/\partial \eta=0 (pois V_\eta=b t^{2} não depende de x nem de \eta). Logo ambos termos são zero e
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_\eta = 0.
Somando termo temporal + convectivo:
  • Componente \hat{i}: a_x = 0 + \big(-a b^{2} t^{2} e^{-b\eta}\big) = -a b^{2} t^{2} e^{-b\eta}.
  • Componente \hat{j}: a_\eta = 2 b t + 0 = 2 b t.
Portanto a aceleração material é
\frac{D\vec{V}}{Dt} = -a b^{2} t^{2} e^{-b\eta}\,\hat{i} + 2 b t\,\hat{j}.

Passo 5

Resumo e dicas de prova (rápido e prático):
  • Sempre identifique de que variáveis depende cada componente antes de derivar (aqui V_x depende só de \eta, V_\eta só de t).
  • Para divergência, cheque dependência em cada coordenada; muitos erros vêm de derivar em relação à variável errada.
  • Para rotação em 2D use \omega_z=\partial V_\eta/\partial x-\partial V_x/\partial\eta.
  • Para aceleração material faça passo a passo: primeiro \partial\vec{V}/\partial t, depois (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}, depois some. Em prova, escrever os passos evita perder pontos.

Resposta

\nabla\cdot\vec{V}=0
\nabla\times\vec{V}=a b e^{-b\eta},\hat{k}
\frac{D\vec{V}}{Dt}=-a b^{2} t^{2} e^{-b\eta},\hat{i}+2 b t,\hat{j}

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