Uma adutora deve conduzir por gravidade 284400 \mathrm{I} / hora com um desnível de 16,8 \mathrm{~m} e com um comprimento de 5 Km . Utilizar Hazen-Willians.
Qual o diâmetro da adutora para cimento amianto ( \mathrm{C}=140 )

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
  • Vazão: \,284400\\ \mathrm{L/h}.\n
  • Desnível disponível (queda de carga total): \,16,8\\ \mathrm{m}.\n
  • Comprimento da adutora: \,5\\ \mathrm{km}.\n
  • Rugosidade (coeficiente de Hazen–Williams) para cimento-amianto: \,C=140.\n
    Pergunta: determinar o diâmetro interno da adutora que permita transportar a vazão dada com a queda de carga disponível, usando a fórmula de Hazen–Williams.

Passo 2

Apresentação da fórmula de Hazen–Williams que vamos usar e significado das grandezas.\n
A forma prática da fórmula (em unidades SI, para água em conduto cheio) que relaciona perda de carga h_f ao comprimento L, vazão Q, diâmetro D e coeficiente C é:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
onde:\n
  • \,h_f é a perda de carga total na tubulação (m);\n
  • \,L é o comprimento da tubulação (m);\n
  • \,Q é a vazão (m^3/s);\n
  • \,C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);\n
  • \,D é o diâmetro interno (m).\n
    Esta fórmula é empírica; os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 e o fator 10{,}67 resultam da forma ajustada da equação original para unidades SI.

Passo 3

Converter a vazão dada para unidades compatíveis ( \mathrm{m^3/s}).\n
Dado \,284400\\ \mathrm{L/h}. Como 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, temos:
Q = \frac{284400\cdot 10^{-3}}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = \frac{284{,}4}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}079\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Identificar h_f e L nas unidades corretas e rearranjar a fórmula para D.\n
Temos h_f = 16{,}8\\ \mathrm{m} e L = 5\\ \mathrm{km} = 5000\\ \mathrm{m}.\n
Queremos isolar D na fórmula. Reescrevendo:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}
\Rightarrow D^{4{,}87} = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}
\Rightarrow D = \left( 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f} \right)^{\!\frac{1}{4{,}87}}.

Passo 5

Calcular Q^{1{,}852}.\n
Usando Q = 0{,}079\\ \mathrm{m^3/s}:
Q^{1{,}852} = (0{,}079)^{1{,}852} \approx 0{,}0090868.
(para obter este valor pode-se usar logaritmos ou uma calculadora; aqui apresentei o valor numérico arredondado razoavelmente).

Passo 6

Calcular C^{1{,}852} com C=140.\n
C^{1{,}852} = (140)^{1{,}852} \approx 9426{,}9.

Passo 7

Calcular o numerador 10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}.\n
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot 5000 \cdot 0{,}0090868 \approx 484{,}776.

Passo 8

Calcular o denominador C^{1{,}852}\,h_f.\n
C^{1{,}852}\cdot h_f \approx 9426{,}9 \cdot 16{,}8 \approx 158371{,}9.

Passo 9

Calcular a razão, obter D^{4{,}87} e extrair D.\n
D^{4{,}87} = \frac{484{,}776}{158371{,}9} \approx 0{,}0030606.
Agora aplicamos a potência 1/4{,}87:
D = (0{,}0030606)^{1/4{,}87} \approx 0{,}305\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Converter o diâmetro para milímetros e comentar sobre diâmetro comercial.\n
D \approx 0{,}305\\ \mathrm{m} = 305\\ \mathrm{mm}.
Como tubos comerciais têm bitolas padronizadas, a opção prática é adotar o próximo diâmetro comercial superior (para garantir que a perda de carga não exceda a disponível). Para cimento-amianto costuma-se escolher \,315\\ \mathrm{mm} como diâmetro comercial próximo.

Resposta

D \approx 0{,}305\\ \mathrm{m} (aprox. 305\\ \mathrm{mm}).\n
Adotar comercialmente: 315\\ \mathrm{mm}.

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