Uma adutora deve conduzir por gravidade 284400 \mathrm{I} / hora com um desnível de 16,8 \mathrm{~m} e com um comprimento de 5 Km . Utilizar Hazen-Willians.
Qual o diâmetro da adutora para ferro fundido ( \mathrm{C}=100 )

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
  • Pede-se o diâmetro da adutora para ferro fundido com C=100.
  • Vazão dada: Q = 284400\\ \mathrm{I/h}.
  • Desnível (queda disponível) ao longo da adutora: h = 16,8\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da adutora: L = 5\\ \mathrm{km}.
  • Usar fórmula de Hazen–Williams.
Resumo do pedido: determinar o diâmetro interno D que permita escoamento por gravidade da vazão dada usando a perda de carga disponível h ao longo de L.

Passo 2

Converter unidades para o sistema SI e calcular a perda de carga específica (inclinação hidráulica) S:
  • Converter vazão de litros por hora para metros cúbicos por segundo. Lembrando que 1\\ \mathrm{L}=0,001\\ \mathrm{m^{3}} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
Q = 284400\\ \mathrm{L/h} = 284400\times 0,001\\ \mathrm{m^{3}/h}=284,4\\ \mathrm{m^{3}/h}
Q = \frac{284,4}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0,079\\ \mathrm{m^{3}/s}
  • Calcular a inclinação hidráulica S=\dfrac{h}{L} com L em metros:
L = 5\\ \mathrm{km}=5000\\ \mathrm{m}
S=\frac{16,8}{5000}=0,00336
Explicação didática rápida: S é a perda de carga por metro de comprimento (adimensional). Se a queda total é 16,8\\ \mathrm{m} em 5000\\ \mathrm{m}, então em cada metro perde-se 0,00336\\ \mathrm{m} de carga relativa à altura (ou simplesmente S adimensional).

Passo 3

Apresentar a fórmula de Hazen–Williams (forma usada aqui) e explicar cada termo:
A forma prática em unidades SI que relaciona S, Q, C e D é
S=\frac{10,67\;Q^{1,852}}{C^{1,852}\;D^{4,871}}
onde:
  • S é a perda de carga por unidade de comprimento (adimensional), que já calculamos.
  • Q é a vazão em \mathrm{m^{3}/s}.
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adiimens.), que representa a rugosidade da tubulação (aqui C=100 para ferro fundido).
  • D é o diâmetro interno em \mathrm{m}.
  • Os expoentes 1,852 e 4,871 são empíricos da fórmula Hazen–Williams.
Breve aula: Hazen–Williams é uma fórmula empírica usada para água potável em tubulações cheias, fácil de aplicar porque não precisa da viscosidade. Ela relaciona a vazão com a perda de carga e o diâmetro por potências empíricas. É válida para escoamentos turbulentos e temperaturas usuais de água.

Passo 4

Isolar D na fórmula e escrever a expressão que vamos calcular:
Partindo de
S=\frac{10,67\;Q^{1,852}}{C^{1,852}\;D^{4,871}}
isolamos D^{4,871}:
D^{4,871}=\frac{10,67\;Q^{1,852}}{C^{1,852}\;S}
e, portanto,
D=\left(\frac{10,67\;Q^{1,852}}{C^{1,852}\;S}\right)^{\frac{1}{4,871}}
Explicação didática: para encontrar D tiramos potência recíproca 1/4,871 (equivalente à raiz de ordem 4,871). Todas as quantidades no radicando são conhecidas agora: Q, C e S.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos (mostrar contas detalhadas):
  • Já temos Q=0,079\\ \mathrm{m^{3}/s}, C=100, S=0,00336.
Calcular Q^{1,852}:
Q^{1,852}=(0,079)^{1,852}\approx 0,009097
(Explicação: usei a potência empírica; em prova pode calcular com uma calculadora científica ou tabelas. Para entendimento, é um número pequeno porque Q<1.)
Calcular C^{1,852}:
C^{1,852}=(100)^{1,852}\approx 5057
(Observação: 100^{1,852}=10^{2\times 1,852}=10^{3,704}, e 10^{0,704}\approx 5,057, daí o valor.)
Calcular o numerador da fração:
10,67\;Q^{1,852}\approx 10,67\times 0,009097\approx 0,09714
Calcular o denominador da fração:
C^{1,852}\;S\approx 5057\times 0,00336\approx 16,99
Formar a razão:
\frac{10,67\;Q^{1,852}}{C^{1,852}\;S}\approx\frac{0,09714}{16,99}\approx 0,005719
Agora tirar a potência 1/4,871:
D=\left(0,005719\right)^{\frac{1}{4,871}}\approx 0,3466\\ \mathrm{m}
Explicação didática: a maior parte do trabalho é calcular potências e multiplicações. Observe que um pequeno erro numa potência pode alterar um pouco o resultado, por isso em prova use a calculadora com atenção. Aqui cheguei a D\approx 0,3466\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretar o resultado e traduzir para uma unidade prática:
  • D\approx 0,3466\\ \mathrm{m}, que em milímetros é:
D\approx 346,6\\ \mathrm{mm}\approx 347\\ \mathrm{mm}
Observação prática e motivadora: na prática escolhe-se um diâmetro comercial disponível; o resultado indica que um diâmetro comercial de 350\\ \mathrm{mm} (ou DN350) seria apropriado. Se quiser segurança hidráulica ou facilidade construtiva, escolher o próximo diâmetro comercial acima é comum.

Resposta

Diâmetro D \approx 0,347\\ \mathrm{m} (aprox. 347\\ \mathrm{mm}; adotar comercialmente DN350).

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