Uma adutora interliga dois reservatórios cuja diferença de nivel é 15 m . Esta adutora é composta por dois trechos ligados em série, sendo o primeiro de 1000 m de comprimento e 300 mm de diâmetro, ambos os trechos com coeficiente de perda de carga igual a 0,020 . Desconsiderando as perdas de carga localizadas, pede-se:
a) Determinar a vazåo escoada;
b) Calcular a nova vazão se for instalada, paralelamente ao trecho 2, uma tubulação com 900 m de comprimento, 250 mm de diámetro e com o mesmo coeficiente de perda de carga ( ).
Passo 1
Beleza, vamos resumir primeiro o que a questão tá pedindo e a matéria envolvida.
Enunciado resumido: temos dois reservatórios com diferença de nível ΔH = 15 m. Entre eles há uma tubulação composta de dois trechos em série. O trecho 1 tem 1 000 m de comprimento e diâmetro 300 mm; o trecho 2 também tem coeficiente de atrito f = 0,020 (mas não foram dados comprimento e diâmetro numéricos, então vou chamar de L₂ e D₂). Desprezamos perdas localizadas.
a) Calcular a vazão Q que escoa nesse arranjo em série.
b) Depois, ao trecho 2 acrescenta-se, em paralelo, uma segunda tubulação de 900 m e 250 mm (também f = 0,020). Aí queremos a nova vazão total.
Matéria: escoamento em tubulações, equação de Darcy–Weisbach. Vamos usar:
– perda de carga distribuída h_L = f·(L/D)·(V²/(2g))
– V = Q/A, A = πD²/4
– Em série: Q é igual nos dois trechos, as perdas somam até ΔH
– Em paralelo: o ΔH no nó é o mesmo em cada ramal, a Q se divide.
Passo 2
Escrever a equação geral para escoamento em série.
Para cada trecho i = 1,2 temos:
h_{Li} = f·(L_i/D_i)·(V²/(2g)), onde V = Q/A_i e A_i = π D_i²/4.
Como estão em série, a soma das perdas dá o ΔH disponível:
ΔH = h_{L1} + h_{L2}
= f·(L₁/D₁)·(Q²/(2g·A₁²)) + f·(L₂/D₂)·(Q²/(2g·A₂²)).
Substituir valores do trecho 1 e deixar trecho 2 genérico.
Para i=1:
L₁ = 1 000 m; D₁ = 0,300 m; A₁ = π·(0,300)²/4.
Logo o termo do trecho 1 é
T₁ = L₁/(D₁·A₁²) = 1000 / [0.300 · (π·0.300²/4)²].
Para i=2 chamamos:
L₂ e D₂;
T₂ = L₂/(D₂·A₂²) com A₂ = π·D₂²/4.
Então
Q = √[ 2·9,81·15 / (0,020·(T₁ + T₂)) ].
Passo 4
Teoria do paralelo (para parte b).
Quando adicionamos em paralelo ao trecho 2 um ramal extra (2′), cada ramo recebe uma vazão Q₂ e Q₂′, mas ambos sofrem a mesma perda de carga h_{L2} = h_{L2′}.
Para cada ramo j ∈ {2,2′}:
h_{Lj} = f·(L_j/D_j)·( (Q_j/A_j)² / (2g) ).
E no ponto de divisão:
h_{L1} + h_{L2(paralelo)} = ΔH,
mas h_{L2(paralelo)} = h_{L2} = h_{L2′}.
E a vazão total nova Q_total = Q₁ = Q₂ + Q₂′.
Passo 5
Equações para encontrar Q₂ e Q₂′.
h_{L1} = f·(L₁/D₁)·(Q_total²/(2g·A₁²)).
h_{L2} = f·(L₂/D₂)·(Q₂²/(2g·A₂²)).
h_{L2′} = f·(900/D′)·(Q₂′²/(2g·A′²)), com D′=0,250 m e A′=π·(0,250)²/4.
Em paralelo, h_{L2}=h_{L2′}.
ΔH = h_{L1}+h_{L2}.
E Q_total = Q₂+Q₂′.
São 4 equações (h_2=h_2′, a soma de Q, e ΔH) e 4 incógnitas (Q_total, Q₂, Q₂′ e h_{L2}). Você resolve numericamente por tentativa ou usando software.
Resposta
– a) A vazão Q em série é ,
com .
– b) Após instalar a tubulação paralela (900 m×250 mm), a nova vazão total Q_total vem da resolução do sistema:
,
,
.
Basta substituir as expressões de pela fórmula de Darcy–Weisbach e resolver numericamente.