Agora que você retomou como calcular certos limites, ou como comprovar que alguns não existem, com base nos conhecimento que foram utilizados nos três exercícios anteriores, resolva os próximos limites. Ou seja, para cada um dos próximos, ou conclua qual é o seu valor, ou conclua que ele não existe, justificando.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3+\sqrt[5]{x^{4}}}{2+2 x^{7}-7 y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3+\sqrt[5]{x^{4}}}{2+2x^{7}-7y^{3}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e uso da continuidade de funções elementares (radiciação e polinômios).

Passo 2

Analisamos o numerador \;3+\sqrt[5]{x^{4}}. Como a função x\mapsto\sqrt[5]{x^{4}}=(x^{4})^{1/5} é contínua em x=0, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(3+\sqrt[5]{x^{4}}\bigr) =3+\sqrt[5]{0^{4}} =3.

Passo 3

Analisamos o denominador \;2+2x^{7}-7y^{3}. Cada termo é um polinômio em x ou em y, portanto contínuo em (0,0). Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(2+2x^{7}-7y^{3}\bigr) =2+2\cdot0^{7}-7\cdot0^{3} =2.

Passo 4

Como o limite do denominador é 2\neq0, podemos usar a regra do quociente de limites e obter
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3+\sqrt[5]{x^{4}}}{2+2x^{7}-7y^{3}} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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