Agora que você retomou como calcular certos limites, ou como comprovar que alguns não existem, com base nos conhecimento que foram utilizados nos três exercícios anteriores, resolva os próximos limites. Ou seja, para cada um dos próximos, ou conclua qual é o seu valor, ou conclua que ele não existe, justificando.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt[9]{x^{3} y^{6}}}{-x^{4}+7 y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt[9]{x^{3}y^{6}}}{-x^{4}+7y^{4}}.
Estamos em funções de duas variáveis e vamos testar diferentes trajetórias para ver se o quociente tende ao mesmo valor ou não.

Passo 2

Vejamos a trajetória y=0. Nesse caso
\sqrt[9]{x^{3}y^{6}}=\sqrt[9]{x^{3}\cdot0}=0 \quad\text{e}\quad -\,x^{4}+7y^{4}=-x^{4}.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(0,0) por y=0,
\frac{\sqrt[9]{x^{3}y^{6}}}{-x^{4}+7y^{4}} =\frac{0}{-x^{4}}=0.

Passo 3

Agora escolhemos a reta y=x. Temos
\sqrt[9]{x^{3}y^{6}} =\sqrt[9]{x^{3}\,x^{6}} =\sqrt[9]{x^{9}}=x,
e
-\,x^{4}+7y^{4} =-x^{4}+7x^{4}=6x^{4}.
Portanto, ao longo de y=x,
\frac{\sqrt[9]{x^{3}y^{6}}}{-x^{4}+7y^{4}} =\frac{x}{6x^{4}} =\frac{1}{6x^{3}},
que tende a +\infty se x\to0^+ e a -\infty se x\to0^-. Isso mostra que o quociente não tem um único valor ao aproximar-se de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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