Agora que você retomou como calcular certos limites, ou como comprovar que alguns não existem, com base nos conhecimento que foram utilizados nos três exercícios anteriores, resolva os próximos limites. Ou seja, para cada um dos próximos, ou conclua qual é o seu valor, ou conclua que ele não existe, justificando.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}-\frac{e^{\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{\pi}{x y}\right)}}{\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{\pi}{x y}\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(1,2)} -\frac{e^{\tan^2\!\bigl(\frac{\pi}{x\,y}\bigr)}}{\tan^2\!\bigl(\frac{\pi}{x\,y}\bigr)}.
O conteúdo usado inclui comportamento assintótico de \tan(t) em t=\frac\pi2 e limites de tipo \tfrac{e^u}{u} quando u\to+\infty.

Passo 2

À medida que (x,y)\to(1,2), temos
x\,y \;\longrightarrow\; 1\cdot 2 = 2
e, consequentemente,
\frac{\pi}{x\,y}\;\longrightarrow\; \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Sabemos que \tan(t) tem assíntota vertical em t=\frac\pi2, logo
\tan^2(t)\;\longrightarrow\; +\infty
quando t\to\frac\pi2 por qualquer lado. Definindo
u = \tan^2\!\Bigl(\frac{\pi}{x\,y}\Bigr),
concluímos que u\to+\infty conforme (x,y)\to(1,2).

Passo 4

Para u\to+\infty, o limite
\lim_{u\to+\infty}\frac{e^u}{u}
é +\infty, pois a função exponencial cresce muito mais rápido que a polinomial. Com o sinal negativo à frente, obtemos
\lim_{u\to+\infty} -\frac{e^u}{u} = -\infty.

Resposta

-\infty

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