Um agricultor estima que o lucro \mathrm{L}(\mathrm{x}), em mil reais, ao plantar x hectares de soja, é dado por:
L(x)=-2 x^{2}+20 x
Qual o número ideal de hectares para obter o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá a função de lucro em mil reais
L(x) = -2x^{2} + 20x
onde x é a área plantada em hectares. O conteúdo aqui é maximização de função quadrática (parábola), que atinge valor máximo no seu vértice quando o coeficiente de x^2 é negativo.

Passo 2

Para uma parábola L(x)=ax^{2}+bx+c com a<0, o máximo ocorre em
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a = -2 e b = 20, logo
x_{v} = -\frac{20}{2\cdot(-2)} = \frac{20}{4} = 5.

Passo 3

Como a=-2<0, de fato a parábola é côncava para baixo e x_{v}=5 fornece o lucro máximo.

Resposta

5 hectares.

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