Um agrônomo deseja testar 10 tipos diferentes de fertilizantes em diferentes condições de solo e clima. Como testar todas as combinações possíveis é inviável, ele decide testar combinações de dois fertilizantes por vez.
As condições ambientais consideradas são:
  • Tipo de solo: arenoso, argiloso, siltoso;
  • Nível de umidade do solo: seco, úmido;
  • Temperatura: alta, moderada, baixa.
    (a) Sabendo que o agrônomo deseja testar cada par de fertilizantes exatamente uma vez em cada combinação de solo e clima, quantos testes ele deverá realizar no total?
    (b) Proponha um design experimental eficiente para organizar esses testes, garantindo que cada par de fertilizantes seja avaliado adequadamente sem a necessidade de testar todas as combinações completas.
    (c) Quais são as vantagens desse design em relação a um experimento que tentasse testar todas as combinações possíveis?

Passo 1

O enunciado pede para testar 10 tipos de fertilizantes em pares (combinações de 2 em 2) e, em princípio, fazer cada par exatamente uma vez para cada condição de solo e clima. As condições ambientes são:
– solo: arenoso, argiloso, siltoso (3 níveis)
– umidade: seco, úmido (2 níveis)
– temperatura: alta, moderada, baixa (3 níveis)
Conteúdo: contagem de combinações e proposta de um desenho experimental balanceado (desenho em blocos incompletos resolúveis).

Passo 2

Calcular o número de pares de fertilizantes e de combinações de ambiente:
– Número de pares de 10 fertilizantes:
\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45.
– Número de combinações ambiente:
3 \times 2 \times 3 = 18.
Se cada um dos 45 pares for testado em cada uma das 18 condições, o total de testes será
45 \times 18 = 810.

Passo 3

Para reduzir o total de 810 testes sem deixar de avaliar cada par de forma balanceada, podemos usar a 1-fatorização do grafo completo K_{10}.
1-fatorização de K_{10} gera 9 “rodadas” (fatores), em cada uma das quais os 10 fertilizantes são emparelhados sem sobreposição, ou seja, 5 pares por rodada, cobrindo todos os 45 pares ao longo de 9 rodadas.

Passo 4

Agora incorporamos as condições de solo e clima de modo a usar apenas 9 blocos por réplica:
  • Escolhemos dois níveis de umidade como réplicas (seco vs. úmido).
  • Para cada réplica, temos 9 rodadas (os 91-fatores) que podemos associar de forma balanceada às 3\times3=9 combinações de solo × temperatura.
    Assim, cada réplica (umidade “seco” ou “úmido”) gera 9 blocos, totalizando 18 blocos que correspondem às 18 condições ambiente.
    Em cada bloco testamos exatamente 5 pares (a rodada correspondente), de modo que ao final:
18\text{ blocos} \times 5\text{ pares por bloco} = 90\text{ testes no total.}

Passo 5

Vantagens desse desenho em blocos incompletos resolúveis sobre testar todas as 18\times 45 combinações:
  • Redução drástica no número de testes (de 810 para 90).
  • Cada par de fertilizantes ainda aparece de forma balanceada (uma vez em cada réplica de umidade e em duas condições distintas de solo/temperatura).
  • Permite estimar efeitos principais dos fatores solo, umidade e temperatura e comparar diretamente cada par de fertilizantes sem sobrecarga de experimentos.
  • Menos custo, menos tempo e menor necessidade de área de cultivo, mantendo boa qualidade estatística.

Resposta

(a) 810 testes.
(b) Use a 1-fatorização de K_{10} para obter 9 rodadas de 5 pares; trate como blocos as 9 combinações solo × temperatura em cada réplica de umidade, totalizando 18 blocos de 5 pares (90 testes).
(c) Drástica economia de testes (90 vs. 810), bom balanceamento e capacidade de estimar efeitos sem testar toda a matriz completa.

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