Água é bombeada de um tanque de estocagem através de um tubo de 3,00 \mathrm{~cm} de diâmetro interno numa vazão de 0,001 \mathrm{ml} / \mathrm{s}. Qual é a energia cinética específica da água?

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética específica da água e fornece os seguintes dados:
  • diâmetro interno do tubo: d=3,00\\ \mathrm{cm};
  • vazão volumétrica: Q=0,001\\ \mathrm{mL/s}.
A pergunta a responder é: qual é a energia cinética específica da água (energia cinética por unidade de massa), em unidades de energia por massa (por exemplo \mathrm{J/kg})?

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, como na prova).
  1. Definição de energia cinética específica: a energia cinética de uma massa m com velocidade v é \dfrac{1}{2}mv^2. Dividindo por m obtemos a energia cinética por unidade de massa (energia cinética específica):
e_k = \frac{v^2}{2}.
Aqui e_k é a energia cinética específica (em \mathrm{J/kg}), v é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}).
  1. Relação entre vazão volumétrica e velocidade média no tubo: a vazão volumétrica Q é o volume que passa por unidade de tempo e, para um tubo de área da seção transversal A com velocidade média v, vale
Q = A\,v.
Daí:
v = \frac{Q}{A}.
Aqui A é a área da seção transversal do tubo (em \mathrm{m^2}).
  1. Área de uma seção circular: para um tubo de diâmetro d,
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Explicando cada símbolo: \pi é a constante (aprox. 3,14159), d é o diâmetro em metros.
Com essas fórmulas já sabemos o roteiro: converter unidades para SI, calcular A, obter v=Q/A e então e_k=v^2/2.

Passo 3

Conversão de unidades para o sistema SI.
  1. Converter o diâmetro para metros:
d = 3,00\\ \mathrm{cm} = 0,030\\ \mathrm{m}.
  1. Converter a vazão de \mathrm{mL/s} para \mathrm{m^3/s}. Lembrando que 1\\ \mathrm{mL}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3}. Assim:
Q = 0,001\\ \mathrm{mL/s} = 0,001 \times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s} = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular a área da seção transversal do tubo.
Usando \;A=\dfrac{\pi d^2}{4}\;:
A = \frac{\pi (0,030\\ \mathrm{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0,0009\\ \mathrm{m^2}}{4} = \pi \times 0,000225\\ \mathrm{m^2}.
Calculando numericamente:
A \approx 7,07\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a velocidade média v usando v=Q/A.
Substituindo os valores:
v = \frac{1\times10^{-9}\\ \mathrm{m^3/s}}{7,07\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}} \approx 1,41\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: essa velocidade é muito pequena porque a vazão dada é extremamente baixa em relação à área do tubo.

Passo 6

Calcular a energia cinética específica \;e_k=\dfrac{v^2}{2}\;.
Primeiro o quadrado da velocidade:
v^2 \approx (1,41\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s})^2 \approx 2,00\times10^{-12}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora:
e_k = \frac{v^2}{2} \approx \frac{2,00\times10^{-12}}{2} = 1,00\times10^{-12}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: o resultado é extremamente pequeno ( 10^{-12}\\ \mathrm{J/kg}) porque a vazão indicada é muito pequena para um tubo de diâmetro 3{,}00\\ \mathrm{cm}. Está tudo certo com os cálculos — na prova faça as mesmas etapas: converter unidades, calcular área, obter v e usar e_k=v^2/2. Vai dar certo, respira e confia no passo a passo!

Resposta

1,00\times10^{-12}\\ \mathrm{J/kg}

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