Água está fluindo para dentro de um tanque em formato de um cilindro circular reto, a uma taxa de 4 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com raio crescendo com taxa de 2 \mathrm{~mm} / \mathrm{min}. O quão rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 3 m e o volume de água no tanque for 20 \pi m^{3} ?

Passo 1

O enunciado diz que a água entra num tanque cilíndrico a uma taxa \tfrac{dV}{dt}=4\pi m^{3}/min e que o raio cresce a \tfrac{dr}{dt}=2 mm/min. Queremos a velocidade de subida da altura da água, \tfrac{dh}{dt}, no instante em que r=3 m e o volume é V=20\pi m^{3}. O conteúdo é de taxas relacionadas, usando a fórmula do volume do cilindro.

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro de raio r e altura h é
V = \pi r^2 h.

Passo 3

Diferenciando em relação ao tempo t, mantendo r=r(t) e h=h(t), obtemos
\frac{dV}{dt} = \pi\bigl(2r\,\frac{dr}{dt}\,h + r^2\,\frac{dh}{dt}\bigr).

Passo 4

Antes de substituir, calculamos h no instante dado. Como
V = \pi r^2 h = \pi\cdot 3^2\cdot h = 9\pi\,h
e V=20\pi, segue
h = \frac{20\pi}{9\pi} = \frac{20}{9}\text{ m}.

Passo 5

Convertamos \tfrac{dr}{dt}=2 mm/min para metros por minuto:
\frac{dr}{dt} = 2\text{ mm/min} = 0{,}002\text{ m/min}.

Passo 6

Substituindo tudo em
4\pi = \pi\bigl(2\cdot 3\cdot 0{,}002\cdot \tfrac{20}{9} + 3^2\,\frac{dh}{dt}\bigr)
dividimos ambos os lados por \pi e isolamos \tfrac{dh}{dt}:
4 = 2\cdot 3\cdot 0{,}002\cdot \tfrac{20}{9} + 9\,\frac{dh}{dt} \;\;\Longrightarrow\;\; 9\,\frac{dh}{dt} = 4 - \frac{2\cdot 3\cdot 0{,}002\cdot 20}{9}.
Calculando o termo numérico,
\frac{2\cdot 3\cdot 0{,}002\cdot 20}{9} = \frac{0{,}08}{3} = \frac{2}{75},
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9\,\frac{dh}{dt} = 4 - \frac{2}{75} = \frac{300}{75} - \frac{2}{75} = \frac{298}{75},
\frac{dh}{dt} = \frac{298}{75\cdot 9} = \frac{298}{675}\approx 0{,}4415\text{ m/min}.

Resposta

\frac{dh}{dt} = \frac{298}{675}\text{ m/min}\approx 0{,}44\text{ m/min}.

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