Para a água do mar ( \sigma=5 \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \varepsilon_{\mathrm{r}}=80 ), calcular:
a) a distância que um sinal de 25 kHz percorre até que sua amplitude caia a 10 \% do seu valor inicial;
b) a velocidade de propagação dessa onda;
c) a defasagem entre os campos elétrico e magnético.

Passo 1

O enunciado dá propriedades da água do mar e pede três coisas para uma onda de 25\\ \mathrm{kHz}. Valores fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • condutividade: \sigma=5\\ \mathrm{S/m};
  • permissividade relativa: \varepsilon_{\mathrm{r}}=80;
  • frequência: f=25\\ \mathrm{kHz}.
O que pedir:
a) distância z tal que a amplitude da onda caia a 10\% do valor inicial (ou seja, fator de atenuação 0{,}1);
b) velocidade de propagação da onda;
c) defasagem entre os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Vamos entender as fórmulas que precisamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • A constante de propagação no meio é \gamma=\alpha+i\beta, onde \alpha é a constante de atenuação (em \mathrm{Np/m}) e \beta é a constante de fase (em \mathrm{rad/m}). Para um meio com permittividade \varepsilon, permeabilidade \mu e condutividade \sigma,
\gamma=\sqrt{i\omega\mu\left(\sigma+i\omega\varepsilon\right)},
onde \omega=2\pi f.
  • A amplitude do campo decai como e^{-\alpha z}. Para chegar a 10\% vale e^{-\alpha z}=0{,}1\Rightarrow z=\dfrac{\ln 10}{\alpha}.
  • A velocidade de fase é v_{\mathrm{p}}=\dfrac{\omega}{\beta}.
  • A impedância intrínseca do meio é
\eta=\sqrt{\dfrac{i\omega\mu}{\sigma+i\omega\varepsilon}}.
O argumento (fase) de \eta dá a defasagem entre E e H: \angle\eta=\angle E-\angle H.
Explicando em palavras: precisamos calcular \alpha e \beta a partir de \gamma; para isso calculamos \omega, \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}} e adotamos \mu=\mu_0 (água não magnética). Em seguida verificamos se podemos usar a aproximação de “bom condutor” (quando \sigma\gg\omega\varepsilon), o que simplifica muito as fórmulas.

Passo 3

Calculemos constantes físicas e verifiquemos a aproximação:
  • \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}=8{,}854187817\times10^{-12}\cdot80=7{,}0833502536\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}=1{,}2566370614\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • \omega=2\pi f=2\pi\cdot25{,}0\times10^{3}=1{,}5707963268\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a razão que indica se é bom condutor:
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{5}{(1{,}5707963268\times10^{5})\cdot(7{,}0833502536\times10^{-10})}.
Calculemos aproximadamente o denominador: (1{,}5708\times10^{5})\cdot(7{,}08335\times10^{-10})\approx1{,}112\times10^{-4}. Logo
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx\frac{5}{1{,}112\times10^{-4}}\approx4{,}5\times10^{4}\gg1.
Conclusão: \sigma\gg\omega\varepsilon, logo a água do mar, a 25\\ \mathrm{kHz}, comporta-se como um bom condutor — podemos usar a aproximação simplificada para condutores.

Passo 4

Fórmulas simplificadas para bom condutor (derivação curta): quando \sigma\gg\omega\varepsilon tem-se \gamma\approx\sqrt{i\omega\mu\sigma}. Usando \sqrt{i}=(1+i)/\sqrt{2} obtém-se
\gamma=\alpha+i\beta\approx\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\omega\mu\sigma}.
Portanto
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Outra forma útil é
\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}.
Essas fórmulas são padrão para o regime de condutor (skin effect). A interpretação: o campo decai rapidamente e a fase também gira com a mesma taxa num condutor bom.

Passo 5

Calculemos numericamente \alpha e \beta.
Usando \alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}:
\alpha=\sqrt{\pi\cdot25{,}0\times10^{3}\cdot(1{,}2566370614\times10^{-6})\cdot5}.
Avaliação numérica:
\pi f=7{,}853981633974483\times10^{4},\quad \pi f\mu=7{,}8539816\times10^{4}\cdot1{,}2566370614\times10^{-6}\approx0{,}09869604401,
\pi f\mu\sigma\approx0{,}09869604401\cdot5=0{,}49348022005,
\alpha=\sqrt{0{,}49348022005}\approx0{,}702484429\\ \mathrm{Np/m}.
Como \beta\approx\alpha, temos
\beta\approx0{,}702484429\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Distância até amplitude 10\%. Parte prática: como a amplitude é A(z)=A_0 e^{-\alpha z} e queremos A(z)/A_0=0{,}1, então
z=\frac{\ln 10}{\alpha}.
Substituindo \alpha:
z=\frac{2{,}302585093}{0{,}702484429}\approx3{,}276971\\ \mathrm{m}.
Arredondando para apresentação: z\approx3{,}277\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: a onda de 25\\ \mathrm{kHz} na água do mar fica bastante atenuada em poucos metros — por isso comunicação por rádio em água é difícil.

Passo 7

Velocidade de fase v_{\mathrm{p}}=\dfrac{\omega}{\beta}. Com \omega=1{,}5707963268\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s} e \beta\approx0{,}702484429\\ \mathrm{rad/m},
v_{\mathrm{p}}=\frac{1{,}5707963268\times10^{5}}{0{,}702484429}\approx2{,}236067977\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: v_{\mathrm{p}}\approx2{,}236\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Observação: essa velocidade é muito menor que a velocidade da luz no vácuo porque a presença de forte condutividade altera muito a propagação.

Passo 8

Defasagem entre E e H. Para bom condutor a impedância intrínseca aproxima-se por
\eta\approx(1+i)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
O fator (1+i) tem argumento \pi/4 (ou 45^\circ). Logo
\angle\eta=\frac{\pi}{4}=45^\circ.
Como \eta=E/H, a fase de E menos a fase de H é \angle\eta. Portanto o campo elétrico está defasado em +45^\circ em relação ao campo magnético (ou seja, E antecipa H em 45^\circ usando a convenção usual de fase). Numericamente:
\text{defasagem }=\;45^\circ.

Passo 9

Resumo numérico (preparando a resposta final com os valores calculados):
  • \alpha\approx0{,}702484429\\ \mathrm{Np/m}, \beta\approx0{,}702484429\\ \mathrm{rad/m}.
  • distância para 10\%: z\approx3{,}277\\ \mathrm{m}.
  • velocidade de fase: v_{\mathrm{p}}\approx2{,}236\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
  • defasagem E vs H: 45^\circ ( E antecipa H por 45^\circ ).

Resposta

a) 3{,}277\\ \mathrm{m}
b) 2{,}236\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}
c) 45^\circ (o campo elétrico está adiantado 45^\circ em relação ao magnético)

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