Uma o.p.u. se propaga num material não magnético, sem perdas, com
, sendo
. Calcular
no ponto
em
para cada um dos campos:
b)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
- Permitividad relativa:
. - Meio não magnético e sem perdas, logo
e a constante de propagação é real. - Frequência angular:
. - Campo fásor elétrico (parte b):
(Peguei a expressão de do enunciado.) - Ponto onde avaliar:
— ou seja, a coordenada do ponto é . - Tempo onde avaliar:
.
O que é pedido: calcular o vetor campo magnéticono ponto em correspondente ao fásor dado.
Passo 2
Relembrando as relações e convenções que vou usar (explicando cada coisa):
- Convenção fásor-tempo: o campo no domínio do tempo obtém-se como a parte real do fásor multiplicado por
. Ou seja, Aqui significa pegar a parte real. - Para uma onda plana progressiva em um meio homogêneo e sem perdas a relação entre os fásores é
onde: -
é a impedância intrínseca do meio (unidades ); -
é o versor da direção de propagação da onda (aqui a dependência indica propagação na direção ); -
é o produto vetorial.
Esta fórmula vem diretamente das equações de Maxwell para uma onda plana: em meios não condutores E, H e k são mutuamente ortogonais e(vetor Poynting).
-
- A impedância do meio pode ser escrita em termos da impedância do vácuo
e constantes relativas: - A constante de fase
vale onde é a velocidade da luz no vácuo ( ). Vou usar essa expressão para calcular .
Passo 3
Calcular a impedância
:
Valor numérico:
Passo 4
Calcular a constante de fase
. Usando
:
Portanto
.
(Obs.: usei para um cálculo simples; o valor exato com
daria
, mesma ordem.)
(Obs.: usei
Passo 5
Determinar a direção de
a partir de
e de
.
- O fásor dado é
, ou seja, aponta na direção e a onda propaga-se no sentido . Assim . - Fazer o produto vetorial:
Lembrando a regra cíclica dos vetores unitários: .
Portanto - Usando
obtemos o fásor de :
Passo 6
Passar para o domínio do tempo: multiplicar por
e tomar a parte real.
Como o fator multiplicativo
é real, isto dá
Substituindo
:
Passo 7
Avaliar no ponto
(onde
) e em
.
- Primeiro calcular os argumentos:
Logo - O cosseno:
- Então o valor numérico de
em e em é
Passo 8
Interpretação final (curta e amigável): o campo magnético está apontando na direção negativa de
(ou seja,
), com amplitude aproximadamente
no instante pedido. Isso bate com a regra das mãos direitas:
.