Uma o.p.u. se propaga num material não magnético, sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9, sendo \omega=10^{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcular \mathbf{H} no ponto P(100 ; 80 ; 500) \mathrm{m} em \mathrm{t}=8 \mu \mathrm{~s} para cada um dos campos:
b) \mathbf{E}_{\mathbf{s}}=600 \exp (-\mathbf{j} \boldsymbol{\beta} \mathbf{z}) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
  • Permitividad relativa: \varepsilon_{\mathrm{r}}=9.
  • Meio não magnético e sem perdas, logo \mu_{\mathrm{r}}=1 e a constante de propagação é real.
  • Frequência angular: \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Campo fásor elétrico (parte b): \mathbf{E}_{s}=600\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\,\beta z}\,\mathbf{j}\quad\text{(unidades: V/m).}(Peguei a expressão de \mathbf{E}_s do enunciado.)
  • Ponto onde avaliar: P(100;80;500)\\ \mathrm{m} — ou seja, a coordenada z do ponto é z=500\\ \mathrm{m}.
  • Tempo onde avaliar: t=8\\ \mu\mathrm{s}=8\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s}.
    O que é pedido: calcular o vetor campo magnético \mathbf{H} no ponto P em t=8\\ \mu\mathrm{s} correspondente ao fásor \mathbf{E}_s dado.

Passo 2

Relembrando as relações e convenções que vou usar (explicando cada coisa):
  • Convenção fásor-tempo: o campo no domínio do tempo obtém-se como a parte real do fásor multiplicado por \mathrm{e}^{\mathbf{j}\omega t}. Ou seja, \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\{\mathbf{E}_s(\mathbf{r})\,\mathrm{e}^{\mathbf{j}\omega t}\}, \qquad \mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\Re\{\mathbf{H}_s(\mathbf{r})\,\mathrm{e}^{\mathbf{j}\omega t}\}.Aqui \Re\{\cdot\} significa pegar a parte real.
  • Para uma onda plana progressiva em um meio homogêneo e sem perdas a relação entre os fásores é \mathbf{H}_s=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E}_s,onde:
    • \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} é a impedância intrínseca do meio (unidades \Omega);
    • \hat{k} é o versor da direção de propagação da onda (aqui a dependência \mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z} indica propagação na direção +\mathbf{\hat{z}});
    • \times é o produto vetorial.
      Esta fórmula vem diretamente das equações de Maxwell para uma onda plana: em meios não condutores E, H e k são mutuamente ortogonais e \mathbf{E}\times\mathbf{H} = \mathbf{S} (vetor Poynting).
  • A impedância do meio pode ser escrita em termos da impedância do vácuo \eta_0 e constantes relativas: \eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}, \qquad \eta_0\approx 377\\ \Omega.
  • A constante de fase \beta vale \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}},onde c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Vou usar essa expressão para calcular \beta.

Passo 3

Calcular a impedância \eta:
\eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}=\frac{377}{\sqrt{9}}=\frac{377}{3}\\ \Omega.
Valor numérico:
\eta=\frac{377}{3}\\ \Omega\approx 125,67\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a constante de fase \beta. Usando \beta=(\omega/c)\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}:
\beta=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\frac{10^{5}}{3\cdot10^{8}}\cdot 3 = \frac{10^{5}}{3\cdot10^{8}}\cdot 3 = \frac{10^{5}}{10^{8}}=10^{-3}\\ \mathrm{rad/m}.
Portanto \beta\approx 1{,}0\cdot10^{-3}\\ \mathrm{rad/m}.
(Obs.: usei c\approx 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s} para um cálculo simples; o valor exato com c=2{,}9979\cdot10^{8} daria \beta\approx 1{,}0007\cdot10^{-3}\\ \mathrm{rad/m}, mesma ordem.)

Passo 5

Determinar a direção de \mathbf{H}_s a partir de \mathbf{E}_s e de \hat{k}.
  • O fásor dado é \mathbf{E}_s=600\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z}\,\mathbf{j}, ou seja, \mathbf{E}_s aponta na direção \mathbf{\hat{y}} e a onda propaga-se no sentido +\mathbf{\hat{z}}. Assim \hat{k}=\mathbf{\hat{z}}.
  • Fazer o produto vetorial: \hat{k}\times\mathbf{E}_s=\mathbf{\hat{z}}\times\big(600\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z}\,\mathbf{\hat{y}}\big) =600\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z}\,(\mathbf{\hat{z}}\times\mathbf{\hat{y}}).Lembrando a regra cíclica dos vetores unitários: \mathbf{\hat{z}}\times\mathbf{\hat{y}}=-\mathbf{\hat{x}}.
    Portanto \hat{k}\times\mathbf{E}_s = -600\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z}\,\mathbf{\hat{x}}.
  • Usando \mathbf{H}_s=\dfrac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E}_s obtemos o fásor de \mathbf{H}: \mathbf{H}_s = -\frac{600}{\eta}\,\mathrm{e}^{-\,\mathbf{j}\beta z}\,\mathbf{\hat{x}}.

Passo 6

Passar para o domínio do tempo: multiplicar por \mathrm{e}^{\mathbf{j}\omega t} e tomar a parte real.
\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\Re\{\mathbf{H}_s\,\mathrm{e}^{\mathbf{j}\omega t}\} = \Re\left\{-\frac{600}{\eta}\,\mathrm{e}^{\mathbf{j}(\omega t - \beta z)}\,\mathbf{\hat{x}}\right\}.
Como o fator multiplicativo -\dfrac{600}{\eta} é real, isto dá
\mathbf{H}(\mathbf{r},t) = -\frac{600}{\eta}\cos\big(\omega t - \beta z\big)\,\mathbf{\hat{x}}.
Substituindo \eta=\dfrac{377}{3}:
\frac{600}{\eta}=\frac{600}{377/3}=\frac{1800}{377}\approx 4{,}77\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Avaliar no ponto P (onde z=500\\ \mathrm{m}) e em t=8\\ \mu\mathrm{s}.
  • Primeiro calcular os argumentos: \omega t = 10^{5}\cdot 8\cdot10^{-6}=0{,}8\\ \mathrm{rad}, \qquad \beta z = 10^{-3}\cdot 500 = 0{,}5\\ \mathrm{rad}.Logo \omega t - \beta z = 0{,}8-0{,}5=0{,}3\\ \mathrm{rad}.
  • O cosseno: \cos(0{,}3)\approx 0{,}955336.
  • Então o valor numérico de \mathbf{H} em P e em t é \mathbf{H}(P,t) = -\frac{1800}{377}\cos(0{,}3)\,\mathbf{\hat{x}} \approx -4{,}56\,\mathbf{\hat{x}}\\ \mathrm{A/m}.

Passo 8

Interpretação final (curta e amigável): o campo magnético está apontando na direção negativa de x (ou seja, -\mathbf{\hat{x}}), com amplitude aproximadamente 4{,}56\\ \mathrm{A/m} no instante pedido. Isso bate com a regra das mãos direitas: \mathbf{\hat{z}}\times\mathbf{\hat{y}}=-\mathbf{\hat{x}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(100,80,500,\;t=8\mu\mathrm{s}) \approx -4{,}56\\ \mathbf{\hat{x}}\\ \mathrm{A/m}

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