Uma o.p.u., descrita por \mathbf{E}_{\mathrm{s}}=100 \exp (-\gamma \mathrm{z}) i [V/m], propaga-se num material para o qual \varepsilon_{\mathrm{r}}=2,25; \mu_{\mathrm{r}}=4,0 e \sigma=100 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, com \omega=10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determinar:
a) a velocidade de fase ( \mathrm{v}_{\mathrm{f}} );
b) o comprimento de onda ( \lambda );
c) a impedância intrínseca ( \eta );
d) expressões para os campos elétrico e magnético no tempo;
e) os valores dos vetores \mathbf{E} e \mathbf{H} (módulo, direção e sentido) no ponto (10; 15; 20)m para \mathrm{t}=100 \mathrm{~ns};
f) a potência média incidente numa chapa circular de raio \mathrm{r}=10 \mathrm{~cm} perpendicular à direção de propagação localizada em \mathrm{z}=0 e em \mathrm{z}=100 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma o.p.u. (onda plana uniforme) com campo fásor elétrico
\mathbf{E}_{\mathrm{s}}=100\,\mathrm{e}^{-\gamma z}\,\hat{\mathbf{i}}\quad[\mathrm{V/m}]
e os parâmetros do meio:
\varepsilon_{r}=2{,}25,\qquad \mu_{r}=4{,}0,\qquad \sigma=100\\ \mu\mathrm{S/m}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m}, \qquad \omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
O que o problema pede:
a) \mathrm{v}_{\mathrm{f}} — velocidade de fase;
b) \lambda — comprimento de onda;
c) \eta — impedância intrínseca do meio;
d) expressões no tempo para \mathbf{E}(z,t) e \mathbf{H}(z,t);
e) valores dos vetores \mathbf{E} e \mathbf{H} (módulo, direção e sentido) no ponto (10,15,20) m para t=100\\ \mathrm{ns};
f) potência média incidente numa chapa circular de raio r=0{,}10\\ \mathrm{m} perpendicular à propagação, localizada em z=0 e em z=100\\ \mathrm{m}.
Dados físicos constantes que vamos usar:
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Cálculos das quantidades básicas do meio (muito importante entender cada passo).
  1. Calcular \mu e \varepsilon:
\mu=\mu_0\mu_r=4\pi\times10^{-7}\cdot 4 = 5{,}02654824\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m},
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 2{,}25 = 1{,}992192\!\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  1. Definir o termo complexo que aparece na constante de propagação. Duas formas equivalentes são usadas na teoria:
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{\,j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)\,}
ou, usando permissividade complexa \varepsilon_c=\varepsilon-j\sigma/\omega,
\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c}.
Aqui vou usar a primeira expressão porque dá α e β diretamente. Primeiro calculamos
a=\sigma=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m},\qquad b=\omega\varepsilon=10^{8}\cdot1{,}992192\times10^{-11}=1{,}992192\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m}.
  1. Calcula-se j\omega\mu(a+j b). Seja N=\omega\mu=10^{8}\cdot5{,}02654824\times10^{-6}=502{,}654824.
    Então
\gamma^{2}=j\omega\mu\,(a+j b) = -N b + j N a.
Numérico:
\gamma^{2}= -1{,}00138965 + j\,0{,}0502654824\quad(\text{em } \mathrm{(rad/m)}^{2}).
  1. Tiramos a raiz quadrada complexa para obter \gamma=\alpha+j\beta. Procedimento (explicando): para um número complexo X=\rho e^{j\varphi}, sua raiz é \sqrt{\rho}\,e^{j\varphi/2}. Aplicando isso a \gamma^{2} obtemos numericamente
\gamma \approx 0{,}025123 + j\,1{,}002335\quad(\mathrm{Np/m}+j\\ \mathrm{rad/m}),
portanto
\alpha\approx 0{,}025123\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta\approx 1{,}002335\\ \mathrm{rad/m}.
(Comentário rápido sobre significado: \alpha é a constante de atenuação em Np/m; \beta é a constante de fase em rad/m. Em meios pouco condutivos \alpha é pequeno comparado a \beta, como aqui.)

Passo 3

Velocidade de fase e comprimento de onda (fórmulas e aplicação).
  1. Velocidade de fase: a relação é
\mathrm{v}_{\mathrm{f}}=\frac{\omega}{\beta}.
Substituindo:
\mathrm{v}_{\mathrm{f}}=\frac{10^{8}}{1{,}002335}\approx 9{,}9767\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 9{,}98\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Comprimento de onda:
\lambda=\frac{2\pi}{\beta}.
Substituindo:
\lambda=\frac{2\pi}{1{,}002335}\approx 6{,}2686\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Impedância intrínseca \eta do meio (fórmula, significado e cálculo passo a passo).
  1. Fórmula geral:
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
Isto é a razão entre campo elétrico e campo magnético para a onda no meio (em fases complexas). Outra forma útil é \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon_c}} com \varepsilon_c=\varepsilon-j\sigma/\omega.
2) Calculemos numericamente. Primeiro o quociente interno
Q=\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}.
Determinando Q (divisão complexa) obtemos numericamente
Q\approx 2{,}51681\times10^{5} + j\,1{,}2631\times10^{4}.
  1. Tomando a raiz quadrada complexa de Q (mesmo procedimento de raiz usado antes) chega-se a
\eta \approx 501{,}83 + j\,12{,}55\\ \Omega.
  1. Magnitude e argumento (úteis para interpretar fases entre E e H):
|\eta|\approx 502{,}0\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)\approx 0{,}02506\\ \mathrm{rad}\approx 1{,}44^\circ.
Interpretação: \eta tem uma pequena componente imaginária positiva porque o meio tem condução finita; isso introduz um pequeno deslocamento de fase entre E e H.

Passo 5

Expressões temporais para os campos (como passar do fásor para o domínio do tempo, passo a passo).
  1. Convenção adotada: assumimos dependência temporal e^{j\omega t} para os fásors. O fásor dado é \mathbf{E}_{\mathrm{s}}(z)=100\,\mathrm{e}^{-\gamma z}\,\hat{\mathbf{i}}.
  2. Escrever a dependência espacial e temporal em fásor:
\tilde{\mathbf{E}}(z)=100\,\mathrm{e}^{-\gamma z}\,\hat{\mathbf{i}}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{E}(z,t)=\Re\{\,100\,\mathrm{e}^{-\gamma z}\,e^{j\omega t}\,\hat{\mathbf{i}}\,\}.
  1. Usando \gamma=\alpha+j\beta, isso fica
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(z,t)=100\,\mathrm{e}^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}\\ \;(\mathrm{V/m}). }
Explicação: \mathrm{e}^{-\gamma z}e^{j\omega t}=\mathrm{e}^{-\alpha z}e^{j(\omega t-\beta z)} e o campo físico é a parte real.
4) Campo magnético fásor: para uma onda plana que se propaga na direção +\hat{\mathbf{z}} com \mathbf{E} em \hat{\mathbf{i}}, a relação fásor entre \mathbf{E} e \mathbf{H} é
\tilde{\mathbf{H}}(z)=\frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{z}}\times\tilde{\mathbf{E}}(z).
Aqui \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{y}}, logo
\tilde{\mathbf{H}}(z)=\frac{100\,\mathrm{e}^{-\gamma z}}{\eta}\,\hat{\mathbf{y}}.
  1. Voltando ao tempo (parte real):
\boxed{\displaystyle \mathbf{H}(z,t)=\Re\!\left\{\frac{100}{\eta}\,\mathrm{e}^{-\gamma z}\,e^{j\omega t}\right\}\hat{\mathbf{y}} = \frac{100}{|\eta|}\,\mathrm{e}^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t-\beta z-\arg\eta\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \;(\mathrm{A/m}). }
Observação didática: o fator -\arg\eta aparece porque \frac{1}{\eta}= \frac{1}{|\eta|}e^{-j\arg\eta}.

Passo 6

Valores dos campos no ponto (10,15,20) m para t=100\\ \mathrm{ns} (faça as contas passo a passo).
  1. O ponto tem coordenada z=20\\ \mathrm{m}. Primeiro calculemos os fatores numéricos:
\alpha z = 0{,}025123\cdot 20 = 0{,}50246, \qquad \mathrm{e}^{-\alpha z}=\mathrm{e}^{-0{,}50246}\approx 0{,}6057.
  1. Fase no tempo e no espaço:
\omega t=10^{8}\cdot 100\times10^{-9}=10\\ \mathrm{rad},\qquad \beta z=1{,}002335\cdot20=20{,}0467\\ \mathrm{rad}.
Portanto o argumento do cosseno é
\omega t-\beta z=10-20{,}0467=-10{,}0467\\ \mathrm{rad}.
  1. Campo elétrico no instante dado:
\mathbf{E}(20,t)=100\cdot 0{,}6057\cos(-10{,}0467)\,\hat{\mathbf{i}}.
Calculando \cos(-10{,}0467)=\cos(10{,}0467)\approx -0{,}8148. Logo
\mathbf{E}(20,100\\ \mathrm{ns})\approx 100\cdot0{,}6057\cdot(-0{,}8148)\,\hat{\mathbf{i}} \approx -49{,}35\\ \hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{V/m}.
Interpretação: módulo |\mathbf{E}|\approx 49{,}35\\ \mathrm{V/m}, direção \hat{\mathbf{i}} (e o sinal negativo indica sentido -\hat{\mathbf{i}}).
4) Campo magnético: usamos |\eta|\approx 502{,}0\\ \Omega e \arg\eta\approx 0{,}02506\\ \mathrm{rad}. A amplitude pré-fator é
\frac{100}{|\eta|}\mathrm{e}^{-\alpha z}= \frac{100}{502{,}0}\cdot0{,}6057\approx 0{,}1206\\ \mathrm{A/m}.
O argumento do cosseno em \mathbf{H} é \omega t-\beta z-\arg\eta = -10{,}0467 - 0{,}02506 = -10{,}0718\\ \mathrm{rad}. Calculando o cosseno:
\cos(-10{,}0718)=\cos(10{,}0718)\approx -0{,}7965.
Logo
\mathbf{H}(20,100\\ \mathrm{ns})\approx 0{,}1206\cdot(-0{,}7965)\,\hat{\mathbf{y}} \approx -0{,}09605\\ \hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.
Interpretação: módulo |\mathbf{H}|\approx 0{,}09605\\ \mathrm{A/m}, direção \hat{\mathbf{y}} e sinal negativo indica sentido -\hat{\mathbf{y}}.
5) Verificação de consistência (intuição): \mathbf{E}\times\mathbf{H} com \mathbf{E} aproximadamente em -\hat{\mathbf{i}} e \mathbf{H} em -\hat{\mathbf{y}} (-\hat{\mathbf{i}})\times(-\hat{\mathbf{y}})=\hat{\mathbf{z}}, ou seja fluxo de energia para +\hat{\mathbf{z}} — consistente com propagação no sentido +z.

Passo 7

Potência média incidente na chapa circular (usando vetor de Poynting médio).
  1. Para ondas harmônicas, o vetor de Poynting médio (densidade de potência média) é
\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2}\Re\{\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^{*}\}.
Para nossa onda (E em \hat{\mathbf{i}}, H em \hat{\mathbf{y}}) a magnitude média (fluxo na direção +\hat{\mathbf{z}}) resulta em
\langle S\rangle = \frac{1}{2}\frac{|\tilde{E}_0|^{2}}{|\eta|}\,\mathrm{e}^{-2\alpha z}\cos(\arg\eta),
onde |\tilde{E}_0|=100\\ \mathrm{V/m} é a amplitude fásor em z=0. (Derivação curta: \tilde{H}=\tilde{E}/\eta, substitui-se e toma-se a parte real.)
2) Área da chapa circular: A=\pi r^{2}=\pi(0{,}1)^{2}=0{,}01\pi\\ \mathrm{m}^{2}\approx 0{,}0314159\\ \mathrm{m}^{2}.
3) Em z=0:
\langle S(0)\rangle\approx \frac{1}{2}\frac{100^{2}}{502{,}0}\cdot1\cdot\cos(0{,}02506)\approx 9{,}956\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Potência na chapa:
P(0)=\langle S(0)\rangle A \approx 9{,}956\cdot 0{,}0314159 \approx 0{,}3127\\ \mathrm{W}.
  1. Em z=100\\ \mathrm{m}: fator de atenuação
\mathrm{e}^{-2\alpha z}=\mathrm{e}^{-2\cdot0{,}025123\cdot100}=\mathrm{e}^{-5{,}0246}\approx 0{,}006594.
Então
\langle S(100)\rangle\approx 9{,}956\cdot 0{,}006594 \approx 0{,}06566\\ \mathrm{W/m^{2}},
e a potência na chapa:
P(100)=\langle S(100)\rangle A \approx 0{,}06566\cdot0{,}0314159 \approx 0{,}002062\\ \mathrm{W}\approx 2{,}06\\ \mathrm{mW}.

Resposta

(a) \mathrm{v}_{\mathrm{f}}\approx 9{,}9767\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
(b) \lambda\approx 6{,}2686\\ \mathrm{m}.
(c) \eta\approx 501{,}83 + j\,12{,}55\\ \Omega (módulo |\eta|\approx 502{,}0\\ \Omega, argumento \approx 0{,}02506\\ \mathrm{rad}).
(d) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=100\,\mathrm{e}^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{\mathbf{i}} com \alpha\approx0{,}025123\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx1{,}002335\\ \mathrm{rad/m};
\displaystyle \mathbf{H}(z,t)=\frac{100}{|\eta|}\mathrm{e}^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z-\arg\eta)\,\hat{\mathbf{y}}.
(e) \mathbf{E}(10,15,20;\,t=100\\ \mathrm{ns})\approx -49{,}35\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{V/m} (módulo 49{,}35\\ \mathrm{V/m}, direção \hat{\mathbf{i}}, sentido -\hat{\mathbf{i}});
\mathbf{H}(10,15,20;\,t=100\\ \mathrm{ns})\approx -0{,}09605\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m} (módulo 0{,}09605\\ \mathrm{A/m}, direção \hat{\mathbf{y}}, sentido -\hat{\mathbf{y}}).
(f) Potência média incidente na chapa (raio 0{,}10\\ \mathrm{m}): em z=0 P\approx 0{,}3127\\ \mathrm{W}; em z=100\\ \mathrm{m} P\approx 0{,}002062\\ \mathrm{W}\\ \\ (2{,}06\\ \mathrm{mW}).

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