Uma o.p.u., descrita por
i [V/m], propaga-se num material para o qual
;
e
, com
. Determinar:
a) a velocidade de fase (
);
b) o comprimento de onda (
);
c) a impedância intrínseca (
);
d) expressões para os campos elétrico e magnético no tempo;
e) os valores dos vetores
e
(módulo, direção e sentido) no ponto (10; 15; 20)m para
;
f) a potência média incidente numa chapa circular de raio
perpendicular à direção de propagação localizada em
e em
.
a) a velocidade de fase (
b) o comprimento de onda (
c) a impedância intrínseca (
d) expressões para os campos elétrico e magnético no tempo;
e) os valores dos vetores
f) a potência média incidente numa chapa circular de raio
Passo 1
O enunciado dá uma o.p.u. (onda plana uniforme) com campo fásor elétrico
e os parâmetros do meio:
O que o problema pede:
a) — velocidade de fase;
b) — comprimento de onda;
c) — impedância intrínseca do meio;
d) expressões no tempo para e
;
e) valores dos vetores e
(módulo, direção e sentido) no ponto
m para
;
f) potência média incidente numa chapa circular de raio perpendicular à propagação, localizada em
e em
.
a)
b)
c)
d) expressões no tempo para
e) valores dos vetores
f) potência média incidente numa chapa circular de raio
Dados físicos constantes que vamos usar:
Passo 2
Cálculos das quantidades básicas do meio (muito importante entender cada passo).
- Calcular
e :
- Definir o termo complexo que aparece na constante de propagação. Duas formas equivalentes são usadas na teoria:
ou, usando permissividade complexa
,
Aqui vou usar a primeira expressão porque dá α e β diretamente. Primeiro calculamos
- Calcula-se
. Seja .
Então
Numérico:
- Tiramos a raiz quadrada complexa para obter
. Procedimento (explicando): para um número complexo , sua raiz é . Aplicando isso a obtemos numericamente
portanto
(Comentário rápido sobre significado:
é a constante de atenuação em Np/m;
é a constante de fase em rad/m. Em meios pouco condutivos
é pequeno comparado a
, como aqui.)
Passo 3
Velocidade de fase e comprimento de onda (fórmulas e aplicação).
- Velocidade de fase: a relação é
Substituindo:
- Comprimento de onda:
Substituindo:
Passo 4
Impedância intrínseca
do meio (fórmula, significado e cálculo passo a passo).
- Fórmula geral:
Isto é a razão entre campo elétrico e campo magnético para a onda no meio (em fases complexas). Outra forma útil é
com
.
2) Calculemos numericamente. Primeiro o quociente interno
2) Calculemos numericamente. Primeiro o quociente interno
Determinando
(divisão complexa) obtemos numericamente
- Tomando a raiz quadrada complexa de
(mesmo procedimento de raiz usado antes) chega-se a
- Magnitude e argumento (úteis para interpretar fases entre
e ):
Interpretação:
tem uma pequena componente imaginária positiva porque o meio tem condução finita; isso introduz um pequeno deslocamento de fase entre
e
.
Passo 5
Expressões temporais para os campos (como passar do fásor para o domínio do tempo, passo a passo).
- Convenção adotada: assumimos dependência temporal
para os fásors. O fásor dado é . - Escrever a dependência espacial e temporal em fásor:
- Usando
, isso fica
Explicação:
e o campo físico é a parte real.
4) Campo magnético fásor: para uma onda plana que se propaga na direção com
em
, a relação fásor entre
e
é
4) Campo magnético fásor: para uma onda plana que se propaga na direção
Aqui
, logo
- Voltando ao tempo (parte real):
Observação didática: o fator
aparece porque
.
Passo 6
Valores dos campos no ponto
m para
(faça as contas passo a passo).
- O ponto tem coordenada
. Primeiro calculemos os fatores numéricos:
- Fase no tempo e no espaço:
Portanto o argumento do cosseno é
- Campo elétrico no instante dado:
Calculando
. Logo
Interpretação: módulo
, direção
(e o sinal negativo indica sentido
).
4) Campo magnético: usamos e
. A amplitude pré-fator é
4) Campo magnético: usamos
O argumento do cosseno em
é
. Calculando o cosseno:
Logo
Interpretação: módulo
, direção
e sinal negativo indica sentido
.
5) Verificação de consistência (intuição): com
aproximadamente em
e
em
dá
, ou seja fluxo de energia para
— consistente com propagação no sentido +z.
5) Verificação de consistência (intuição):
Passo 7
Potência média incidente na chapa circular (usando vetor de Poynting médio).
- Para ondas harmônicas, o vetor de Poynting médio (densidade de potência média) é
Para nossa onda (E em
, H em
) a magnitude média (fluxo na direção
) resulta em
onde
é a amplitude fásor em
. (Derivação curta:
, substitui-se e toma-se a parte real.)
2) Área da chapa circular:
3) Em :
2) Área da chapa circular:
3) Em
Potência na chapa:
- Em
: fator de atenuação
Então
e a potência na chapa:
Resposta
(a)
(b)
(c) (módulo
, argumento
).
(d) com
(e) (módulo
, direção
, sentido
);
(módulo
, direção
, sentido
).
(f) Potência média incidente na chapa (raio ): em
; em
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Potência média incidente na chapa (raio