A água se move com uma velocidade de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano com um diâmetro de 6,0 cm . A água desce gradualmente de 6 m enquanto a seção reta diminui para um diâmetro de 3,0 \mathrm{~cm}. Determine: (a) o volume de água que escoa para a atmosfera num tempo de 2 hora. (b) a velocidade da água na saída e (c) a pressão monométrica antes da descida.

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento permanente e incompressível de água num cano de diâmetro 6,0\mathrm{~cm} com velocidade 8,0\mathrm{~m/s}. Após uma descida gradual de 6\mathrm{~m} o diâmetro reduz para 3,0\mathrm{~cm} e a água sai para a atmosfera. Vamos usar a equação da continuidade para achar o fluxo e Bernoulli para calcular a pressão monométrica antes da descida. A massa específica da água é \rho=1000\mathrm{~kg/m^3} e g=9,8\mathrm{~m/s^2}.

Passo 2

Para achar o volume escoado em 2 horas vamos primeiro calcular a vazão volumétrica Q na seção inicial. A área da seção é
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi\,(0,06)^2}{4}=0,0009\pi\approx0,002827\mathrm{~m^2}.
Como Q=A_1 v_1,
Q=0,002827\cdot8,0\approx0,02262\mathrm{~m^3/s}.
Em t=2 horas, isto é t=7200 s, o volume escoado é
V=Q\,t=0,02262\cdot7200\approx162,9\mathrm{~m^3}.

Passo 3

Para determinar a velocidade de saída v_2 usamos a equação da continuidade A_1v_1=A_2v_2. A área da saída vale
A_2=\frac{\pi\,D_2^2}{4}=\frac{\pi\,(0,03)^2}{4}=0,000225\pi\approx0,000707\mathrm{~m^2}.
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v_2=\frac{A_1}{A_2}\,v_1=\frac{0,002827}{0,000707}\cdot8,0\approx32\mathrm{~m/s}.

Passo 4

Para achar a pressão monométrica antes da descida aplicamos o teorema de Bernoulli entre a seção 1 (altura z_1) e a seção 2 (altura z_2=z_1-6). Em termos de pressão relativa à atmosfera P_2=0,
P_1+\tfrac12\rho v_1^2+\rho g z_1 =\underbrace{P_2}_{0}+\tfrac12\rho v_2^2+\rho g (z_1-6).
Isolando P_1,
P_1=\tfrac12\rho\,(v_2^2-v_1^2)-\rho g\,6 =\tfrac12\cdot1000\,(32^2-8^2)-1000\cdot9,8\cdot6 \approx4,21\times10^5\mathrm{~Pa}.

Resposta

(a) O volume escoado em 2 horas é aproximadamente 162,9\mathrm{~m^3}.
(b) A velocidade de saída é 32\mathrm{~m/s}.
(c) A pressão monométrica antes da descida é aproximadamente 4,21\times10^5\mathrm{~Pa}.

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