Muitos satélites utilizados em telefonia, transmissões de rádio, TV, internet e outros serviços de telecomunicações ocupam a órbita geoestacionáría. Nesta órbita, situada no plano da linha do equador, os satélites permanecem sempre acima de um mesmo ponto da superfície terrestre, parecendo parados para um observador no equador. (a) Qual a distância de um satélite geocêntrico, em órbita circular, em relação ao centro da Terra. (b) qual a velocidade do satélite nessa órbita. (c) Se sua massa é 100 Kg , quais as energias: potencial, cinética e mecânica do satélite nessa órbita.

Passo 1

Resumindo: queremos um satélite geoestacionário em órbita circular equatorial com período igual a 24 h T=86400\mathrm{s}. Precisamos encontrar (a) o raio r da órbita (distância ao centro da Terra), (b) a velocidade orbital v e (c) as energias potencial U, cinética K e mecânica E de um satélite de massa m=100\mathrm{kg}. Para isso, usamos a lei da gravitação universal e a dinâmica do movimento circular.

Passo 2

Na órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}.
Como v=\tfrac{2\pi r}{T}, substituímos e obtemos
\frac{G\,M}{r^2} = \frac{4\pi^2\,r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}.
Com G=6{,}67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}, M=5{,}97\times10^{24}\,\mathrm{kg} e T=86400\,\mathrm{s}, segue
r \approx 4{,}22 \times 10^7 \,\mathrm{m}.

Passo 3

A velocidade orbital é
v = \frac{2\pi r}{T}.
Substituindo r\approx4{,}22\times10^7\,\mathrm{m} e T=86400\,\mathrm{s}, resulta
v \approx 3{,}07 \times 10^3 \,\mathrm{m/s}.

Passo 4

A energia potencial gravitacional (referência no infinito) é
U = -\frac{G\,M\,m}{r}.
Com m=100\,\mathrm{kg} e G\,M/r\approx9{,}45\times10^6\,\mathrm{m^2/s^2}, temos
U \approx -9{,}45 \times 10^8 \,\mathrm{J}.
A energia cinética vale
K = \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12 \cdot 100\,\mathrm{kg}\cdot(3{,}07\times10^3\,\mathrm{m/s})^2 \approx4{,}71 \times 10^8 \,\mathrm{J}.
A energia mecânica total é
E = K + U \approx -4{,}74 \times 10^8 \,\mathrm{J}.

Resposta

(a) r \approx 4{,}22\times10^7\,\mathrm{m}
(b) v \approx 3{,}07\times10^3\,\mathrm{m/s}
(c) U\approx -9{,}45\times10^8\,\mathrm{J}, K\approx4{,}71\times10^8\,\mathrm{J}, E\approx -4{,}74\times10^8\,\mathrm{J}

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