Água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=0,001 Pa.s) escoa em regime permanente em um tubo horizontal com 0,20 \mathrm{~cm} de diâmetro e 10 m de comprimento. Do início ao final da tubulação há uma queda de pressão de 200 Pa na direção do escoamento ao longo do comprimento da tubulação. Suponha regime permanente, escoamento laminar e regime plenamente desenvolvido. Usando as equações de Navier-Stokes:
a. Enumere as hipóteses simplificadoras, de acordo com o enunciado do problema, e mais hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes.
b. Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses diga quais das suas componentes são iguais ou diferentes de zero para o plano geométrico definido. Além disso, para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo elas variam.
c. Identifique as condições de contorno.
d. Determine o perfil de velocidade.
e. Desenhe a distribuição de velocidade no tubo.
f. Calcule o gradiente de pressão na direção do escoamento.
g. Determine a velocidade máxima do escoamento e a sua posição.
h. Calcule a velocidade média.

Passo 1

Primeiro vamos deixar clarinho o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Densidade: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Diâmetro do tubo: D=0{,}20\\ \mathrm{cm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=10\\ \mathrm{m}.
  • Queda de pressão do início ao fim (na direção do escoamento): \Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}}=200\\ \mathrm{Pa} (ou seja, a pressão diminui 200\\ \mathrm{Pa} ao longo de L).
  • Regime: escoamento permanente, laminar, plenamente desenvolvido, tubo horizontal.
O enunciado pede, em itens:
a. Enumere as hipóteses simplificadoras (as já dadas e as necessárias para usar Navier–Stokes).
b. Escreva as equações de Navier–Stokes, explique cada termo e diga quais componentes são zero/ não-zero no plano geométrico definido; para as não-zero diga com qual eixo elas variam.
c. Identifique as condições de contorno.
d. Determine o perfil de velocidade u(r).
e. Desenhe (descreva) a distribuição de velocidade no tubo.
f. Calcule o gradiente de pressão na direção do escoamento \mathrm{d}p/\mathrm{d}z.
g. Determine a velocidade máxima e sua posição.
h. Calcule a velocidade média.
Agora que sabemos o que é pedido e que dados temos, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Liste de hipóteses simplificadoras (justificando cada uma curtinho):
  1. Regime permanente: todas as derivadas temporais são nulas ( \partial/\partial t=0). Isso vem do enunciado.
  2. Fluido incompressível: \nabla\cdot\mathbf{u}=0 e \rho= constante. Água em escoamento lento é praticamente incompressível.
  3. Fluido Newtoniano: a tensão viscosa é linear no gradiente de velocidade, com constante \mu (dado). Isso permite usar a forma clássica viscosa do termo difusivo.
  4. Escoamento laminar e plenamente desenvolvido axialmente: o perfil de velocidade não muda no sentido axial ( \partial u_z/\partial z=0) para z suficientemente interior ao tubo.
  5. Eixo do tubo em z; simetria axial (axisimetria): variáveis dependem só do raio r, não de \theta nem de z (para o perfil já plenamente desenvolvido).
  6. Sem rotação (sem velocidade azimutal): u_{\theta}=0.
  7. Sem velocidade radial média: u_r=0 (em escoamento interno plenamente desenvolvido num tubo rígido, não há escoamento radial).
  8. Sem forças de volume/gravidade no sentido axial relevante (tubo horizontal): componente de gravidade no eixo z nula.
  9. Pressão varia apenas ao longo de z: p=p(z) (devido à simetria e à hipótese de escoamento plenamente desenvolvido).
Essas hipóteses juntas permitem reduzir as equações de Navier–Stokes ao problema de Hagen–Poiseuille.

Passo 3

Escrevo as equações de Navier–Stokes para um fluido incompressível e Newtoniano em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). A forma geral (componentes) é:
  • Continuidade (incompressível):
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r u_r\bigr)+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}=0.
  • Equação de quantidade de movimento — componentes r,\theta,z:
\text{(componente }r\text{)}:\quad \rho\left(u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_\theta^2}{r}+u_z\frac{\partial u_r}{\partial z}\right) =-\frac{\partial p}{\partial r}+\mu\left[\nabla^2 u_r -\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}\right].
\text{(componente }\theta\text{)}:\quad \rho\left(u_r\frac{\partial u_\theta}{\partial r}+\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{u_r u_\theta}{r}+u_z\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\right) =-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\mu\left[\nabla^2 u_\theta -\frac{u_\theta}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right].
\text{(componente }z\text{)}:\quad \rho\left(u_r\frac{\partial u_z}{\partial r}+\frac{u_\theta}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right) =-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\nabla^2 u_z + \rho g_z,
onde \nabla^2 em coordenadas cilíndricas atua sobre cada componente (expressão padrão).
Agora aplico as hipóteses do passo anterior para reduzir termos (explico por quê cada termo some):
  • Regime permanente: elimina \partial/\partial t (já não aparece nas fórmulas acima porque escrevemos forma convectiva; em termos locais zeramos as derivadas temporais).
  • Simetria azimutal e sem variação axial do perfil (plena desenvolvimento): \partial/\partial\theta=0 e \partial/\partial z=0 nos termos dependentes de r quando tratamos o perfil.
  • Velocidades u_r=0 e u_\theta=0: todos os termos que multiplicam essas velocidades desaparecem; em particular, termos convectivos \rho u_r\partial(\cdot)/\partial r,\\ \rho u_\theta\partial(\cdot)/\partial\theta etc. anulam-se.
  • Sem força volumétrica no eixo z (tubo horizontal): g_z=0.
Com essas hipóteses as equações ficam muito simples:
  • Continuidade: com u_r=0, u_\theta=0 e \partial u_z/\partial z=0 a continuidade é satisfeita trivialmente (0=0).
  • Componente r: reduz a
0 = -\frac{\partial p}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial r}=0,
ou seja, pressão não depende de r (consistência com p=p(z)).
  • Componente \theta: reduz a
0 = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial p}{\partial\theta}=0.
  • Componente z: reduz a (a parte viscosa para u_z(r) em coordenadas cilíndricas)
0 = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} + \mu\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}r}\Bigr)\right).
Aqui expliquei cada termo remanescente:
  • -\mathrm{d}p/\mathrm{d}z: gradiente de pressão que impulsiona o escoamento (só depende de z).
  • \mu(1/r)\mathrm{d}/\mathrm{d}r(r \mathrm{d}u_z/\mathrm{d}r): termo viscoso difusivo radial em coordenadas cilíndricas — representa a resistência ao cisalhamento que distribui velocidade no raio.
  • O lado esquerdo zero vem de remoção dos termos inerciais convectivos (pois u_r=u_\theta=0 e \partial u_z/\partial z=0 no desenvolvimento pleno).
Portanto, a única equação útil para obter o perfil é a componente axial reduzida acima, uma ODE em r.

Passo 4

As condições de contorno são:
  1. No interior do eixo r=0: a solução deve ser finita e simétrica. Isso implica \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}r}\big|_{r=0}=0 (condição de regularidade/simetria).
  2. Na parede r=R (com R=D/2): condição de não deslizamento (no–slip): u_z(r=R)=0.
  3. Condição de pressão ao longo do eixo: p(z) conhecida somente em diferença; podemos usar \mathrm{d}p/\mathrm{d}z= constante dada por \Delta p/L. Especificamente p(0)-p(L)=200\\ \mathrm{Pa}. (Para resolver u(r) basta \mathrm{d}p/\mathrm{d}z constante.)
    Essas três condições serão usadas para integrar a ODE.

Passo 5

Começamos da equação axial reduzida:
0 = -\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} + \mu\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\Bigr)\right),
onde escrevo u(r) em vez de u_z(r) para simplificar.
Passo A: reescrever como ODE:
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\Bigr)=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
A direita é constante (porque \mathrm{d}p/\mathrm{d}z é constante ao longo do tubo).
Passo B: multiplicar por r e integrar em r:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\Bigr)=\frac{r}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Integrando uma vez em r:
r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Passo C: dividir por r (para r>0):
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r}{2}+\frac{C_{1}}{r}.
Para que u seja finita e regular em r=0, o termo C_{1}/r não pode divergir; logo C_{1}=0.
Passo D: integrar novamente:
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{r^{2}}{4}+C_{2}.
Aplicamos agora a condição de contorno na parede u(R)=0, com R=D/2:
0=\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{R^{2}}{4}+C_{2} \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
Portanto o perfil final é
u(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr).
Observação sobre o sinal: normalmente a pressão diminui no sentido do escoamento, logo \mathrm{d}p/\mathrm{d}z<0. Então r^{2}-R^{2}\le0 e o produto resulta em u(r)\ge0 (velocidade positiva no sentido do escoamento). Equivalente e mais usada em livros:
u(r)=-\frac{1}{4\mu}\left(\frac{\Delta p}{L}\right)\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr),
usando \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=\,-\frac{\Delta p}{L} se z cresce no sentido do escoamento.
Esse é o perfil parabólico clássico de Hagen–Poiseuille.

Passo 6

A distribuição axial de velocidade u(r) é parabólica em função de r: máximo no centro r=0 e zero na parede r=R. Em forma descritiva:
  • Forma: u(r) varia como R^{2}-r^{2} (parábola invertida em r).
  • No centro r=0: u(0)=u_{\max}.
  • Na parede r=R: u(R)=0.
Um esboço ASCII aproximado (onde a horizontal é o raio e vertical a velocidade):
r = 0 r = R
| u
| .----.
| .-’ ‘-.
| .’ '.
|_____________\ r
0 R
(interpretar: curva suave, simétrica, máxima em r=0 e decrescendo até zero em r=R). Essa é a clássica parábola de Poiseuille.

Passo 7

O gradiente de pressão (no eixo z, adotando z no sentido do escoamento) é constante e dado por:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=\frac{p_{\text{out}}-p_{\text{in}}}{L}=-\frac{\Delta p}{L}.
Numericamente:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{200\\ \mathrm{Pa}}{10\\ \mathrm{m}}=-20\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 8

A velocidade máxima ocorre no eixo r=0. Usando o perfil:
u_{\max}=u(0)=\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\bigl(0-R^{2}\bigr) =-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}R^{2}.
Substituindo valores:
  • R=\dfrac{D}{2}= \dfrac{0{,}002}{2}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-20\\ \mathrm{Pa/m}.
  • \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Então
u_{\max}=-\frac{1}{4\cdot 0{,}001}\cdot(-20)\cdot(0{,}001)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\frac{1}{4\mu}=\frac{1}{4\cdot 0{,}001}=250, \qquad R^{2}=(0{,}001)^{2}=1\times 10^{-6}.
Logo
u_{\max}=250\times(-20)\times 1\times 10^{-6}\times(-1)=250\times 20\times 10^{-6}=5000\times 10^{-6}=0{,}005\\ \mathrm{m/s}.
Portanto u_{\max}=0{,}005\\ \mathrm{m/s} e ocorre em r=0.
(Comentário de verificação: número de Reynolds será muito pequeno — confirmamos a consistência da hipótese laminar.)

Passo 9

A velocidade média (velocidade média cross-sectional) é
\bar{u}=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} 2\pi r u(r)\,\mathrm{d}r.
Usando u(r)=\dfrac{1}{4\mu}\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}(r^{2}-R^{2}) compute o integral:
Q=\int_{0}^{R}2\pi r u(r)\,\mathrm{d}r =\frac{2\pi}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\int_{0}^{R} r(r^{2}-R^{2})\,\mathrm{d}r.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R} r(r^{2}-R^{2})\,\mathrm{d}r=\int_{0}^{R}(r^{3}-R^{2}r)\,\mathrm{d}r =\left[\frac{r^{4}}{4}-\frac{R^{2}r^{2}}{2}\right]_{0}^{R} =\frac{R^{4}}{4}-\frac{R^{4}}{2}=-\frac{R^{4}}{4}.
Logo
Q=\frac{2\pi}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\left(-\frac{R^{4}}{4}\right) =-\frac{\pi R^{4}}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
A velocidade média é \bar{u}=Q/(\pi R^{2}), portanto
\bar{u}=-\frac{R^{2}}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Comparando com u_{\max}=-\dfrac{R^{2}}{4\mu}\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}, obtemos a relação clássica
\bar{u}=\frac{u_{\max}}{2}.
Agora calcule numericamente:
\bar{u}=\frac{0{,}005\\ \mathrm{m/s}}{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m/s}.
Opcional: vazão volumétrica
Q=\bar{u}\cdot \pi R^{2} =0{,}0025\cdot \pi\cdot (0{,}001)^{2} =0{,}0025\cdot \pi\cdot 1\times 10^{-6} \approx 7{,}85\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Verificação do regime (Reynolds):
\mathrm{Re}=\frac{\rho \bar{u} D}{\mu} =\frac{1000\cdot 0{,}0025\cdot 0{,}002}{0{,}001}=5.
\mathrm{Re}=5 é muito menor que 2300, confirmando que o escoamento é laminar — hipóteses consistentes.

Resposta

a. Hipóteses: \partial/\partial t=0 (permanente); fluido incompressível ( \rho= const); fluido Newtoniano ( \mu constante); escoamento laminar e plenamente desenvolvido ( \partial u_z/\partial z=0); axisimetria ( \partial/\partial\theta=0); u_r=0,\\ u_\theta=0; tubo horizontal ( g_z=0 ); p=p(z).
b. Navier–Stokes (incompressível, cilíndricas) e componentes; com hipóteses reduz-se a \displaystyle 0=-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}+\mu\!\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\Bigr)\right); outras componentes dão \partial p/\partial r=0 e \partial p/\partial\theta=0. Apenas a componente axial u_z(r) é não-nula e varia com r.
c. Condições de contorno: u(R)=0 (no–slip), \mathrm{d}u/\mathrm{d}r|_{r=0}=0 (simetria), e p(0)-p(L)=\Delta p=200\\ \mathrm{Pa} (logo \mathrm{d}p/\mathrm{d}z constante).
d. Perfil de velocidade:
\displaystyle u(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr) =-\frac{1}{4\mu}\left(\frac{\Delta p}{L}\right)\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).
e. Distribuição: parabólica, máxima no centro r=0 e nula na parede r=R.
f. Gradiente de pressão:
\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{\Delta p}{L}=-\frac{200\\ \mathrm{Pa}}{10\\ \mathrm{m}}=-20\\ \mathrm{Pa/m}.
g. Velocidade máxima e posição:
\displaystyle u_{\max}=u(0)=-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}R^{2}=0{,}005\\ \mathrm{m/s},\quad\text{ocorre em }r=0.
h. Velocidade média:
\displaystyle \bar{u}=\frac{u_{\max}}{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m/s}.

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