Água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=0,001 Pa.s) escoa em regime permanente em um tubo horizontal com 0,20 \mathrm{~cm} de diâmetro e 10 m de comprimento. Do início ao final da tubulação há uma queda de pressão de 200 Pa na direção do escoamento ao longo do comprimento da tubulação. Suponha regime permanente, escoamento laminar e regime plenamente desenvolvido. Usando as equações de Navier-Stokes:
a. Enumere as hipóteses simplificadoras, de acordo com o enunciado do problema, e mais hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes.
b. Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses diga quais das suas componentes são iguais ou diferentes de zero para o plano geométrico definido. Além disso, para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo elas variam.
c. Identifique as condições de contorno.
d. Determine o perfil de velocidade.
e. Desenhe a distribuição de velocidade no tubo.
f. Calcule o gradiente de pressão na direção do escoamento.
g. Determine a velocidade máxima do escoamento e a sua posição.
h. Calcule a velocidade média.
Passo 1
Primeiro vamos deixar clarinho o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
Diâmetro do tubo: D=0{,}20\\ \mathrm{cm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
Comprimento do tubo: L=10\\ \mathrm{m}.
Queda de pressão do início ao fim (na direção do escoamento): \Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}}=200\\ \mathrm{Pa} (ou seja, a pressão diminui 200\\ \mathrm{Pa} ao longo de L).
O enunciado pede, em itens:
a. Enumere as hipóteses simplificadoras (as já dadas e as necessárias para usar Navier–Stokes).
b. Escreva as equações de Navier–Stokes, explique cada termo e diga quais componentes são zero/ não-zero no plano geométrico definido; para as não-zero diga com qual eixo elas variam.
c. Identifique as condições de contorno.
d. Determine o perfil de velocidade u(r).
e. Desenhe (descreva) a distribuição de velocidade no tubo.
f. Calcule o gradiente de pressão na direção do escoamento \mathrm{d}p/\mathrm{d}z.
g. Determine a velocidade máxima e sua posição.
h. Calcule a velocidade média.
Agora que sabemos o que é pedido e que dados temos, vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Liste de hipóteses simplificadoras (justificando cada uma curtinho):
Regime permanente: todas as derivadas temporais são nulas (\partial/\partial t=0). Isso vem do enunciado.
Fluido incompressível: \nabla\cdot\mathbf{u}=0 e \rho= constante. Água em escoamento lento é praticamente incompressível.
Fluido Newtoniano: a tensão viscosa é linear no gradiente de velocidade, com constante \mu (dado). Isso permite usar a forma clássica viscosa do termo difusivo.
Escoamento laminar e plenamente desenvolvido axialmente: o perfil de velocidade não muda no sentido axial (\partial u_z/\partial z=0) para z suficientemente interior ao tubo.
Eixo do tubo em z; simetria axial (axisimetria): variáveis dependem só do raio r, não de \theta nem de z (para o perfil já plenamente desenvolvido).
Sem rotação (sem velocidade azimutal): u_{\theta}=0.
Sem velocidade radial média: u_r=0 (em escoamento interno plenamente desenvolvido num tubo rígido, não há escoamento radial).
Sem forças de volume/gravidade no sentido axial relevante (tubo horizontal): componente de gravidade no eixo z nula.
Pressão varia apenas ao longo de z: p=p(z) (devido à simetria e à hipótese de escoamento plenamente desenvolvido).
Essas hipóteses juntas permitem reduzir as equações de Navier–Stokes ao problema de Hagen–Poiseuille.
Passo 3
Escrevo as equações de Navier–Stokes para um fluido incompressível e Newtoniano em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). A forma geral (componentes) é:
onde \nabla^2 em coordenadas cilíndricas atua sobre cada componente (expressão padrão).
Agora aplico as hipóteses do passo anterior para reduzir termos (explico por quê cada termo some):
Regime permanente: elimina \partial/\partial t (já não aparece nas fórmulas acima porque escrevemos forma convectiva; em termos locais zeramos as derivadas temporais).
Simetria azimutal e sem variação axial do perfil (plena desenvolvimento): \partial/\partial\theta=0 e \partial/\partial z=0 nos termos dependentes de r quando tratamos o perfil.
Velocidades u_r=0 e u_\theta=0: todos os termos que multiplicam essas velocidades desaparecem; em particular, termos convectivos \rho u_r\partial(\cdot)/\partial r,\\ \rho u_\theta\partial(\cdot)/\partial\theta etc. anulam-se.
Sem força volumétrica no eixo z (tubo horizontal): g_z=0.
Com essas hipóteses as equações ficam muito simples:
Continuidade: com u_r=0, u_\theta=0 e \partial u_z/\partial z=0 a continuidade é satisfeita trivialmente (0=0).
-\mathrm{d}p/\mathrm{d}z: gradiente de pressão que impulsiona o escoamento (só depende de z).
\mu(1/r)\mathrm{d}/\mathrm{d}r(r \mathrm{d}u_z/\mathrm{d}r): termo viscoso difusivo radial em coordenadas cilíndricas — representa a resistência ao cisalhamento que distribui velocidade no raio.
O lado esquerdo zero vem de remoção dos termos inerciais convectivos (pois u_r=u_\theta=0 e \partial u_z/\partial z=0 no desenvolvimento pleno).
Portanto, a única equação útil para obter o perfil é a componente axial reduzida acima, uma ODE em r.
Passo 4
As condições de contorno são:
No interior do eixo r=0: a solução deve ser finita e simétrica. Isso implica \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}r}\big|_{r=0}=0 (condição de regularidade/simetria).
Na parede r=R (com R=D/2): condição de não deslizamento (no–slip): u_z(r=R)=0.
Condição de pressão ao longo do eixo: p(z) conhecida somente em diferença; podemos usar \mathrm{d}p/\mathrm{d}z= constante dada por \Delta p/L. Especificamente p(0)-p(L)=200\\ \mathrm{Pa}. (Para resolver u(r) basta \mathrm{d}p/\mathrm{d}z constante.)
Essas três condições serão usadas para integrar a ODE.
Observação sobre o sinal: normalmente a pressão diminui no sentido do escoamento, logo \mathrm{d}p/\mathrm{d}z<0. Então r^{2}-R^{2}\le0 e o produto resulta em u(r)\ge0 (velocidade positiva no sentido do escoamento). Equivalente e mais usada em livros:
\mathrm{Re}=5 é muito menor que 2300, confirmando que o escoamento é laminar — hipóteses consistentes.
Resposta
a. Hipóteses: \partial/\partial t=0 (permanente); fluido incompressível (\rho= const); fluido Newtoniano (\mu constante); escoamento laminar e plenamente desenvolvido (\partial u_z/\partial z=0); axisimetria (\partial/\partial\theta=0); u_r=0,\\ u_\theta=0; tubo horizontal ( g_z=0 ); p=p(z).
b. Navier–Stokes (incompressível, cilíndricas) e componentes; com hipóteses reduz-se a \displaystyle 0=-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}+\mu\!\left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\Bigl(r\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\Bigr)\right); outras componentes dão \partial p/\partial r=0 e \partial p/\partial\theta=0. Apenas a componente axial u_z(r) é não-nula e varia com r.
c. Condições de contorno: u(R)=0 (no–slip), \mathrm{d}u/\mathrm{d}r|_{r=0}=0 (simetria), e p(0)-p(L)=\Delta p=200\\ \mathrm{Pa} (logo \mathrm{d}p/\mathrm{d}z constante).
d. Perfil de velocidade: