Um jato de ar horizontal com 0,5in de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 8in de diâmetro. A velocidade do jato é de
na saída do bocal. Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule a altura (h) se o líquido do manômetro tem densidade relativa igual a 1,75 . Determine a força exercida pelo jato sobre o disco.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados extraídos do enunciado:
- Diâmetro do jato de ar:
. - Jato axialmente simétrico e horizontal que atinge um disco vertical estacionário com diâmetro
(disco muito maior que o jato). - Velocidade do jato na saída:
. - Manômetro ligado ao centro do disco; o fluido do manômetro tem densidade relativa (gravidade específica)
.
- Diâmetro do jato de ar:
- O que o enunciado pede:
- Calcular a altura
indicada pelo manômetro. - Determinar a força exercida pelo jato sobre o disco.
- Calcular a altura
Observações úteis (não resolvo nada ainda): o jato é de ar (não de água), então a densidade do ar deve ser usada para calcular a pressão dinâmica; o manômetro mede a diferença de pressão entre o ponto no centro do disco (stagnation pressure) e a atmosfera, e relaciona essa diferença de pressão com a coluna do líquido manométrico.
Passo 2
Entender a física e as fórmulas que vamos usar (aula rápida, devagar e com jeitinho).
-
Pressão dinâmica (quando um fluido em movimento é totalmente parado) — pressão de estagnação (diferença entre pressão de estagnação e pressão ambiente):Aqui:
-
é a diferença de pressão que o manômetro vai “ver”. -
é a massa específica (densidade em unidades slug/ft ) do ar. -
é a velocidade do jato em ft/s.
Explicação intuitiva: quando o ar em movimento é trazido à parada num ponto (centro do disco), sua energia cinética por unidade de volumeaparece como excesso de pressão naquele ponto em relação à atmosfera. -
-
Relação do manômetro (liga a diferença de pressão à altura
do líquido): onde:-
é o peso específico do líquido do manômetro (força por volume), em . -
é a altura (head) da coluna de líquido, em pés (ou convertida para polegadas). - Relação entre peso específico e gravidade específica:
, com (valor padrão).
-
-
Força do jato sobre o disco — princípio de quantidade de movimento (momento):onde:
-
é a força (em lbf) exercida pelo jato quando o jato é totalmente parado no disco (impulso é , aqui ). -
é a vazão mássica (massa por tempo). -
é a área da seção do jato: .
-
Observação didática: usamos massa específica do ar (
) em slugs/ft
. A conversão entre peso específico
(em lb/ft
) e massa específica
(em slugs/ft
) é
, com
. Para o ar ao nível do mar utilizaremos o valor padrão aproximado
(valor usual em problemas de mecânica dos fluidos).
Passo 3
Converter as unidades e calcular grandezas intermediárias.
-
Converter diâmetro do jato para pés:Raio:Área do jato:
-
Valores que usaremos:
-
(valor padrão aproximado). -
. -
. -
-
Passo 4
Calcular a diferença de pressão de estagnação
que aparece no centro do disco.
- Usando
substituindo valores: Calcule passo a passo:
Comentário:
está em unidades de força por área (
), que é compatível com
em
para calcular a altura
em pés.
Passo 5
Calcular a altura
do manômetro a partir de
.
- Relação:
Substituindo: Converter para polegadas (1 ft = 12 in):
Interpretação: o manômetro mostrará aproximadamente
de coluna do líquido de SG
.
Passo 6
Calcular a força que o jato exerce sobre o disco pelo método da quantidade de movimento.
- Primeiro calcular a vazão mássica:
Substituindo: Calcule passo a passo:
-
Força (pressupõe que o jato é completamente parado pelo disco; força resultante é a variação de quantidade de movimento por unidade de tempo):
-
Converter para newtons (opcional, 1 lbf =
):
Comentário didático: mesmo que a pressão de estagnação no centro seja pequena em
, a área do jato é muito pequena, então a força resultante é pequena (ordem de décimos de libra).
Passo 7
Verificação rápida de consistência física:
- Altura do manômetro cerca de
— razoável para uma pressão dinâmica de cerca de e líquido mais pesado que a água. - Força da ordem de
(≈ ) — compatível com um jato de ar fino e rápido: pouca massa sendo acelerada.