Um jato de ar horizontal com 0,5in de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 8in de diâmetro. A velocidade do jato é de 225 \mathrm{ft} / \mathrm{s} na saída do bocal. Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule a altura (h) se o líquido do manômetro tem densidade relativa igual a 1,75 . Determine a força exercida pelo jato sobre o disco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Diâmetro do jato de ar: d_j=0{,}5\\ \text{in}.
    • Jato axialmente simétrico e horizontal que atinge um disco vertical estacionário com diâmetro 8\\ \text{in} (disco muito maior que o jato).
    • Velocidade do jato na saída: V=225\\ \mathrm{ft/s}.
    • Manômetro ligado ao centro do disco; o fluido do manômetro tem densidade relativa (gravidade específica) \mathrm{SG}=1{,}75.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a altura h indicada pelo manômetro.
    2. Determinar a força exercida pelo jato sobre o disco.
Observações úteis (não resolvo nada ainda): o jato é de ar (não de água), então a densidade do ar deve ser usada para calcular a pressão dinâmica; o manômetro mede a diferença de pressão entre o ponto no centro do disco (stagnation pressure) e a atmosfera, e relaciona essa diferença de pressão com a coluna do líquido manométrico.

Passo 2

Entender a física e as fórmulas que vamos usar (aula rápida, devagar e com jeitinho).
  • Pressão dinâmica (quando um fluido em movimento é totalmente parado) — pressão de estagnação (diferença entre pressão de estagnação e pressão ambiente):
    \Delta p = p_{\text{stag}}-p_{\infty}=\frac{1}{2}\,\rho_{\text{ar}}\,V^{2}.
    Aqui:
    • \Delta p é a diferença de pressão que o manômetro vai “ver”.
    • \rho_{\text{ar}} é a massa específica (densidade em unidades slug/ft ^3) do ar.
    • V é a velocidade do jato em ft/s.
    Explicação intuitiva: quando o ar em movimento é trazido à parada num ponto (centro do disco), sua energia cinética por unidade de volume \tfrac{1}{2}\rho V^2 aparece como excesso de pressão naquele ponto em relação à atmosfera.
  • Relação do manômetro (liga a diferença de pressão à altura h do líquido):
    \Delta p=\gamma_{\text{man}}\,h,
    onde:
    • \gamma_{\text{man}} é o peso específico do líquido do manômetro (força por volume), em \mathrm{lb/ft^3}.
    • h é a altura (head) da coluna de líquido, em pés (ou convertida para polegadas).
    • Relação entre peso específico e gravidade específica: \gamma_{\text{man}}=\mathrm{SG}\cdot\gamma_{\text{água}}á, com \gamma_{\text{água}}=62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^3}á (valor padrão).
  • Força do jato sobre o disco — princípio de quantidade de movimento (momento):
    F=\dot{m}\,V,
    onde:
    • F é a força (em lbf) exercida pelo jato quando o jato é totalmente parado no disco (impulso é \dot{m}\times \Delta V, aqui \Delta V=V-0=V).
    • \dot{m}=\rho_{\text{ar}}\,A\,V é a vazão mássica (massa por tempo).
    • A é a área da seção do jato: A=\pi\,(d_j/2)^2.
Observação didática: usamos massa específica do ar ( \rho_{\text{ar}}) em slugs/ft ^3. A conversão entre peso específico \gamma (em lb/ft ^3) e massa específica \rho (em slugs/ft ^3) é \gamma=\rho g, com g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^2}. Para o ar ao nível do mar utilizaremos o valor padrão aproximado \rho_{\text{ar}}=0{,}002377\\ \mathrm{slug/ft^3} (valor usual em problemas de mecânica dos fluidos).

Passo 3

Converter as unidades e calcular grandezas intermediárias.
  • Converter diâmetro do jato para pés:
    d_j=0{,}5\\ \text{in}=\frac{0{,}5}{12}\\ \text{ft}=0{,}0416667\\ \text{ft}.
    Raio:
    r_j=\frac{d_j}{2}=0{,}0208333\\ \text{ft}.
    Área do jato:
    A=\pi r_j^{2}=\pi\,(0{,}0208333)^{2}=\pi\cdot 0{,}00043402778\approx 0{,}0013629\\ \text{ft}^2.
  • Valores que usaremos:
    • \rho_{\text{ar}}=0{,}002377\\ \mathrm{slug/ft^3} (valor padrão aproximado).
    • V=225\\ \mathrm{ft/s}.
    • \mathrm{SG}=1{,}75.
    • \gamma_{\text{água}}=62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^3}\Rightarrow \gamma_{\text{man}}=\mathrm{SG}\cdot\gamma_{\text{água}}=1{,}75\cdot 62{,}4=109{,}2\\ \mathrm{lb/ft^3}.áá

Passo 4

Calcular a diferença de pressão de estagnação \Delta p que aparece no centro do disco.
  • Usando \Delta p=\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2},substituindo valores: \Delta p=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}002377\cdot (225)^{2}.Calcule passo a passo: (225)^{2}=50625,
0{,}002377\times 50625=120{,}335625,
\Delta p=\tfrac{1}{2}\cdot 120{,}335625=60{,}1678125\\ \mathrm{lb/ft^2}.
Comentário: \Delta p está em unidades de força por área ( \mathrm{lb/ft^2}), que é compatível com \gamma_{\text{man}} em \mathrm{lb/ft^3} para calcular a altura h em pés.

Passo 5

Calcular a altura h do manômetro a partir de \Delta p.
  • Relação: h=\frac{\Delta p}{\gamma_{\text{man}}}.Substituindo: h=\frac{60{,}1678125}{109{,}2}=0{,}5513\\ \text{ft}.Converter para polegadas (1 ft = 12 in): h=0{,}5513\times 12=6{,}6156\\ \text{in}.
Interpretação: o manômetro mostrará aproximadamente 6{,}62\\ \text{in} de coluna do líquido de SG 1{,}75.

Passo 6

Calcular a força que o jato exerce sobre o disco pelo método da quantidade de movimento.
  • Primeiro calcular a vazão mássica: \dot{m}=\rho_{\text{ar}}\,A\,V.Substituindo: \dot{m}=0{,}002377\cdot 0{,}0013629\cdot 225.Calcule passo a passo: A\cdot V=0{,}0013629\cdot 225=0{,}30665625,
\dot{m}=0{,}002377\cdot 0{,}30665625=0{,}0007289219\\ \mathrm{slug/s}.
  • Força (pressupõe que o jato é completamente parado pelo disco; força resultante é a variação de quantidade de movimento por unidade de tempo):
    F=\dot{m}\,V=0{,}0007289219\cdot 225=0{,}1640074\\ \mathrm{lbf}.
  • Converter para newtons (opcional, 1 lbf = 4{,}44822\\ \mathrm{N}):
    F=0{,}1640074\cdot 4{,}44822\approx 0{,}7299\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: mesmo que a pressão de estagnação no centro seja pequena em \mathrm{lb/ft^2}, a área do jato é muito pequena, então a força resultante é pequena (ordem de décimos de libra).

Passo 7

Verificação rápida de consistência física:
  • Altura do manômetro cerca de 6{,}62\\ \text{in} — razoável para uma pressão dinâmica de cerca de 60{,}lb/ft^2 e líquido mais pesado que a água.
  • Força da ordem de 0{,}16\\ \mathrm{lbf} (≈ 0{,}73\\ \mathrm{N}) — compatível com um jato de ar fino e rápido: pouca massa sendo acelerada.

Resposta

h=0{,}5513\\ \text{ft}=6{,}62\\ \text{in}
F=0{,}1640\\ \mathrm{lbf}\approx 0{,}730\\ \mathrm{N}

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