1. Água está sendo bombeada de um tanque a uma taxa de 5-5 \epsilon^{-0.12 t} litros / minuto, onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o tanque continha 1000 litros de água quando a bomba foi ligada, quanta água resta no tanque uma hora depois?
Seja V(t) o volume de água que é bombeada para fora do tanque. Seja V(0)=1000 o volume inicial, ou seja, o volume total do tanque antes de iniciar o bombeamento. Vamos calcular o volume de água que saiu do tanque em 1 hora, ou seja, 60 minutos:
\begin{aligned} & V(60)=\int_{0}^{60}\left(5-5 \epsilon^{-0.12 t}\right) d t \\\ & V(60)=\left[5 t+\frac{5}{0.12} \epsilon^{-012 t}\right]_{0}^{60} \\\ & V(60) \cong(300+0.031)-(0+41.67) \\\ & V(60) \cong 258.36 \text { litros } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado diz que a taxa instantânea de água sendo bombeada para fora do tanque é
\dot W(t)=5 - 5\,e^{-0.12\,t}\quad\text{(em litros por minuto)},
onde t está em minutos, e que o tanque tinha 1000 litros em t=0. Queremos saber quantos litros restam em t=60 minutos. O conteúdo é aplicação de integração para converter uma taxa em volume.

Passo 2

Definimos
W(t)=\int_{0}^{t}\dot W(\tau)\,d\tau
como o volume total bombeado até o instante t. Depois, o volume que resta no tanque em t é
V_{\text{rest}}(t)=1000 - W(t).

Passo 3

Calcular W(60):
W(60) =\int_{0}^{60}\bigl(5 - 5\,e^{-0.12\,t}\bigr)\,dt =\int_{0}^{60}5\,dt \;-\;5\int_{0}^{60}e^{-0.12\,t}\,dt.
A primeira integral é
\int_{0}^{60}5\,dt =5t\Big|_{0}^{60}=5\cdot60=300.
A segunda integral, usando \displaystyle\int e^{-0.12\,t}dt=-\tfrac{1}{0.12}e^{-0.12\,t}, dá
5\int_{0}^{60}e^{-0.12\,t}\,dt =5\Bigl[-\tfrac{1}{0.12}e^{-0.12\,t}\Bigr]_{0}^{60} =-\frac{5}{0.12}\bigl(e^{-7.2}-1\bigr) =\frac{5}{0.12}\bigl(1-e^{-7.2}\bigr).
Logo
W(60)=300 - \frac{5}{0.12}\bigl(1-e^{-7.2}\bigr) =300 - 41{,}6667\bigl(1-e^{-7.2}\bigr).

Passo 4

Avaliação numérica:
e^{-7.2}\approx0{,}00074 \quad\Longrightarrow\quad 41{,}6667\,(1-e^{-7.2})\approx41{,}6667\cdot0{,}99926\approx41{,}635.
Então
W(60)\approx300 -41{,}635=258{,}365\text{ litros}
(aproximadamente 258{,}36 L bombeados).

Passo 5

O volume que resta no tanque em t=60 min é
V_{\text{rest}}(60)=1000 - W(60)\approx1000 -258{,}36=741{,}64\text{ litros}.

Resposta

Em torno de 741{,}64 litros de água permanecem no tanque após uma hora.

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