1. Encontre os valores presente e futuro de um fluxo de renda constante de R \ 1000,00 durante um período de 20 anos, supondo que a taxa de juros deí10 %$ é composta continuamente.
    O valor presente P(t) é encontrado utilizando a fórmula P(t)=\int_{a}^{b} A(t) \epsilon^{i t} d t,onde A(t) é o valor inicial e i a taxa de juros.
O valor presente será:
P(t)=\int_{0}^{20} 1000 \epsilon^{-0.1 t} d t
P(t)=1000\left[\frac{-\epsilon^{-0.1 t}}{0.1}\right]_{0}^{20}
P(t)=1000\left(1-\epsilon^{-2}\right) \approx 8646.65 dólares
Usando o valor presente de R \ 8646.65$, segue que:

Passo 1

O enunciado pede o valor presente e o valor futuro de um fluxo de renda contínuo de \$1000 por ano, pago de t=0 até t=20, à taxa de juros de 10\% ao ano composta continuamente.
Para fluxo contínuo de intensidade R, em taxa i, sobre horizonte T, temos as fórmulas:
P = \int_{0}^{T}R\,e^{-i t}\,dt
F = \int_{0}^{T}R\,e^{\,i (T - t)}\,dt

Passo 2

Cálculo do valor presente P. Substituindo R=1000, i=0{,}1 e T=20:
P = \int_{0}^{20}1000\,e^{-0,1t}\,dt =1000\left[\frac{e^{-0,1t}}{-0,1}\right]_{0}^{20} =1000\Bigl(\frac{1 - e^{-2}}{0{,}1}\Bigr)
P = 1000\cdot10\bigl(1 - e^{-2}\bigr) =10000\bigl(1 - e^{-2}\bigr)\approx 10000\cdot0{,}86466 \approx 8646{,}65

Passo 3

Cálculo do valor futuro F no instante t=20. Podemos usar
F = P\,e^{iT}
ou integrar diretamente
F = \int_{0}^{20}1000\,e^{0,1\,(20 - t)}\,dt =1000\left[\frac{e^{0,1(20 - t)}}{0{,}1}\right]_{0}^{20} =1000\frac{e^{2} - 1}{0{,}1}
F = 10000\bigl(e^{2} - 1\bigr) \approx 10000\cdot6{,}38906 \approx 63890{,}6

Resposta

O valor presente do fluxo contínuo é
P\approx 8646{,}65
e o valor futuro acumulado em t=20 é
F\approx 63890{,}60

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