A águia dourada ou águia-real é uma ave de rapina que atinge uma velocidade de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Suas asas, em média, possuem 1,5 \mathrm{~m} de envergadura e 0,5 \mathrm{~m} de corda. Sabendo que o escoamento pode ser considerado em uma placa plana, utilizando aceleração da gravidade =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}; massa específica do ar =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; viscosidade cinemática do ar =10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, obtenha:
a força de arrasto na ave, supondo escoamento laminar;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • velocidade da águia: \,50\\ \mathrm{km/h}.
    • envergadura (span): \,1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • corda (chord): \,0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • gravidade: \,9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} (não será necessária para o arrasto, mas foi fornecida).
    • massa específica do ar: \,\rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • viscosidade cinemática do ar: \,\nu=10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • O enunciado pede:
    • obter a força de arrasto na ave supondo escoamento laminar e considerando o escoamento sobre uma placa plana.
  • Observações que vou usar sem pedir mais nada:
    • A placa plana que representa a asa tem área planform igual a envergadura vezes corda.
    • Para fluxo laminar sobre placa plana, usarei a fórmula do coeficiente médio de atrito de pele (coeficiente de atrito médio) da camada limite laminar (solução de Blasius).

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da asa (plano projetado que iremos usar como “placa plana”).
  • Converter velocidade:
    U = 50\\ \mathrm{km/h} = 50\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{50000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{125}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 13{,}8889\\ \mathrm{m/s}.
  • Área da placa (planform):
    S = \text{envergadura}\times\text{corda} = 1{,}5\\ \mathrm{m}\times 0{,}5\\ \mathrm{m} = 0{,}75\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Explicar a teoria útil: coeficiente de atrito médio para camada limite laminar em placa plana e definição de Reynolds.
  • Reynolds baseado no comprimento característico L (aqui a corda da asa):
    \text{Re}_{L} = \frac{U\,L}{\nu},
    onde
    • \,U é a velocidade livre de escoamento ( \mathrm{m/s});
    • \,L é o comprimento de referência ( \mathrm{m}); aqui L= corda =0{,}5\\ \mathrm{m};
    • \,\nu é a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^{2}/s}).
  • Para camada limite laminar (Blasius), o coeficiente de atrito médio sobre a placa até x=L é
    C_{f,\text{médio}} = \frac{1{,}328}{\sqrt{\text{Re}_{L}}}.é
    Explicação curta e intuitiva: C_f é uma medida adimensional da tensão de cisalhamento na superfície (arrasto viscoso) comparada à pressão dinâmica; à medida que \text{Re} cresce, a espessura da camada limite diminui e C_f decresce com 1/\sqrt{\text{Re}}.
  • A força de arrasto viscosa sobre a placa é dada por
    D = \frac{1}{2}\,\rho\,U^{2}\,S\,C_{f,\text{médio}},é
    onde \frac{1}{2}\rho U^{2} é a pressão dinâmica, S é a área projetada e C_{f,\text{médio}}é quantifica a fração dessa pressão dinâmica que gera arrasto por atrito.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds com os valores dados.
  • Primeiro calcule U\,L:
    U\,L = \left(\frac{125}{9}\right)\cdot 0{,}5 = \frac{125}{18}\\ \mathrm{m^{2}/s}\approx 6{,}944444\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Então
    \text{Re}_{L} = \frac{U\,L}{\nu} = \frac{6{,}944444}{10^{-5}} = 694{,}444{,}4 \approx 6{,}94444\times10^{5}.
  • Raiz quadrada necessária:
    \sqrt{\text{Re}_{L}} \approx \sqrt{694{,}444{,}4} = 833{,}333\ldots

Passo 5

Calcular o coeficiente médio de atrito C_{f,\text{médio}}é.
  • Usando a fórmula de Blasius: C_{f,\text{médio}} = \frac{1{,}328}{\sqrt{\text{Re}_{L}}} = \frac{1{,}328}{833{,}333\ldots}\approx 0{,}0015936.é

Passo 6

Calcular a pressão dinâmica e a força de arrasto.
  • Pressão dinâmica:
    \tfrac{1}{2}\rho U^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}23\cdot\left(\frac{125}{9}\right)^{2}.
    Calcule \,U^{2}=\left(\dfrac{125}{9}\right)^{2}=\dfrac{15625}{81}\approx 192{,}9012346.
    Assim
    \tfrac{1}{2}\rho U^{2} = 0{,}615\cdot 192{,}9012346 \approx 118{,}6342593\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Força de arrasto:
    D = \left(\tfrac{1}{2}\rho U^{2}\right) S C_{f,\text{médio}}.é
    Substituindo números:
    D \approx 118{,}6342593\cdot 0{,}75\cdot 0{,}0015936 \approx 0{,}1417\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Interpretação final e comentários práticos (didáticos e motivacionais).
  • Resultado pequeno: \,D\approx 0{,}14\\ \mathrm{N}. Isso corresponde apenas ao arrasto viscoso de pele (skin friction) calculado supondo escoamento laminar sobre a placa plana equivalente. Na realidade, asas de aves têm perfil, separações, turbulência, arrasto de forma (pressure drag) e efeitos tridimensionais que aumentariam o arrasto total; portanto o valor real tende a ser maior.
  • Conceitos-chave memorizáveis para a prova:
    • \text{Re}=\dfrac{U L}{\nu} indica se o escoamento é laminar ou turbulento.
    • Para placa plana laminar: \,C_{f,\text{médio}}=\dfrac{1{,}328}{\sqrt{\text{Re}_{L}}}é.
    • Arrasto por atrito: D=\tfrac{1}{2}\rho U^{2} S C_f.
  • Força de arrasto calculada é muito pequena comparada ao peso de uma ave, mostrando que o arrasto por atrito laminar puro sobre a planform não explica todo o arrasto real — uma boa observação para responder questões conceituais na prova.

Resposta

\displaystyle D \approx 0{,}142\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados