Um protótipo de alta velocidade pesa 10000 N e atinge uma velocidade de
em 300 m. Imediatamente após a passagem pelo temporizador luminoso, o para-quedas de frenagem é aberto, com diâmetro
. As resistências do ar e de rolamento do carro são desprezíveis. Determine o tempo para o veículo desacelerar para
no ar padrão. Admita
; aceleração da gravidade
; massa específica do ar
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pergunta claramente o que se quer:
- Peso do protótipo:
. - Velocidade no instante da abertura do para‑quedas (velocidade inicial):
. - Queremos o tempo para desacelerar até
após a abertura do para‑quedas. - Diâmetro do para‑quedas:
. - Resistências do ar e de rolamento do carro, além da resistência fornecida pelo para‑quedas, são desprezíveis.
- Ar padrão: densidade do ar
. - Relevante:
(isso será usado para justificar modelo de arrasto quadrático). - Aceleração da gravidade:
.
Pergunta a responder: determinar o tempo
necessário para que a velocidade caia de
para
devido ao para‑quedas aberto.
Passo 2
Primeiro calculo a massa do veículo a partir do peso (peso
). Assim,
Faço a conta:
Passo 3
Agora explico o modelo físico da força de arrasto do para‑quedas. Para regimes de Reynolds grandes (
) o arrasto de um para‑quedas pode ser bem representado por uma força proporcional ao quadrado da velocidade:
onde:
-
é a força de arrasto (N); -
é a densidade do ar ( ); -
é o coeficiente de arrasto adimensional (depende da forma do para‑quedas e do regime de escoamento); -
é a área projetada do para‑quedas ( ); -
é a velocidade relativa do veículo ao ar ( ).
Comentário sobre
: não foi dado no enunciado. Para um para‑quedas circular (disco ou hemisférico típico de frenagem) é comum usar um valor de ordem de grandeza
a
. O fato de
indica que
é aproximadamente constante com a velocidade (ou seja, o modelo quadrático é apropriado). Vou adotar o valor típico
que é uma escolha razoável para um disco/para‑quedas de frenagem. Se for usado outro
, o procedimento é o mesmo — o tempo muda proporcionalmente (vou comentar sensibilidade ao final).
Passo 4
Calculo a área do para‑quedas (área de círculo):
Substituindo
:
Passo 5
Escrevo a equação do movimento na direção horizontal (forças horizontais): a única força horizontal que retarda é
. Pela 2ª lei de Newton,
Defino a constante
para simplificar. Assim a equação diferencial fica
Explico: aqui
tem unidade
, e a equação mostra que a taxa de variação da velocidade é proporcional ao quadrado da velocidade — típica de arrasto quadrático.
Passo 6
Calculo numericamente
. Usando
,
,
e
:
Passo 7
Resolvendo a equação diferencial separável:
Integro ambos os lados do instante inicial
com
até tempo
com velocidade
:
A integral dá
ou seja
Rearranjando:
Isolando
:
Passo 8
Agora substituo os valores numéricos:
,
,
.
Calculo primeiro a diferença de recíprocos:
Calculo primeiro a diferença de recíprocos:
Agora o tempo:
Passo 9
Interpretação e sensibilidade: o resultado significa que, com as suposições feitas (principalmente
e arrasto quadrático válido), o para‑quedas reduz a velocidade de
para
em cerca de
. Se o coeficiente de arrasto real for maior, o tempo será menor; se for menor, o tempo será maior. Como referência, variar
em
muda
na mesma proporção e muda
aproximadamente na razão inversa, portanto a ordem de grandeza (alguns segundos) permanece.