Um protótipo de alta velocidade pesa 10000 N e atinge uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em 300 m. Imediatamente após a passagem pelo temporizador luminoso, o para-quedas de frenagem é aberto, com diâmetro \mathrm{D}=2,4 \mathrm{~m}. As resistências do ar e de rolamento do carro são desprezíveis. Determine o tempo para o veículo desacelerar para 42 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar padrão. Admita \operatorname{Re}>10^{3}; aceleração da gravidade =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; massa específica do ar =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pergunta claramente o que se quer:
  • Peso do protótipo: \,10000\\ \mathrm{N}.
  • Velocidade no instante da abertura do para‑quedas (velocidade inicial): \,100\\ \mathrm{m/s}.
  • Queremos o tempo para desacelerar até \,42\\ \mathrm{m/s} após a abertura do para‑quedas.
  • Diâmetro do para‑quedas: \,D=2{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Resistências do ar e de rolamento do carro, além da resistência fornecida pelo para‑quedas, são desprezíveis.
  • Ar padrão: densidade do ar \,\rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Relevante: \operatorname{Re}>10^{3} (isso será usado para justificar modelo de arrasto quadrático).
  • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Pergunta a responder: determinar o tempo t necessário para que a velocidade caia de \,100\\ \mathrm{m/s} para \,42\\ \mathrm{m/s} devido ao para‑quedas aberto.

Passo 2

Primeiro calculo a massa do veículo a partir do peso (peso = m g). Assim,
m=\frac{10000}{9{,}81}.
Faço a conta:
m=\frac{10000}{9{,}81}\approx 1019{,}368\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Agora explico o modelo físico da força de arrasto do para‑quedas. Para regimes de Reynolds grandes ( \operatorname{Re}>10^{3}) o arrasto de um para‑quedas pode ser bem representado por uma força proporcional ao quadrado da velocidade:
F_D=\tfrac{1}{2}\,\rho\,C_D\,A\,v^2,
onde:
  • \,F_D é a força de arrasto (N);
  • \,\rho é a densidade do ar ( \mathrm{kg/m^3});
  • \,C_D é o coeficiente de arrasto adimensional (depende da forma do para‑quedas e do regime de escoamento);
  • \,A é a área projetada do para‑quedas ( \mathrm{m^2});
  • \,v é a velocidade relativa do veículo ao ar ( \mathrm{m/s}).
Comentário sobre \,C_D: não foi dado no enunciado. Para um para‑quedas circular (disco ou hemisférico típico de frenagem) é comum usar um valor de ordem de grandeza \,C_D\approx 1{,}0 a 1{,}5. O fato de \operatorname{Re}>10^{3} indica que \,C_D é aproximadamente constante com a velocidade (ou seja, o modelo quadrático é apropriado). Vou adotar o valor típico
C_D = 1{,}2,
que é uma escolha razoável para um disco/para‑quedas de frenagem. Se for usado outro C_D, o procedimento é o mesmo — o tempo muda proporcionalmente (vou comentar sensibilidade ao final).

Passo 4

Calculo a área do para‑quedas (área de círculo):
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo D=2{,}4\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (2{,}4)^2}{4}=\pi\cdot 1{,}44\approx 4{,}5239\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Escrevo a equação do movimento na direção horizontal (forças horizontais): a única força horizontal que retarda é F_D. Pela 2ª lei de Newton,
m\frac{dv}{dt}=-F_D = -\tfrac{1}{2}\rho C_D A v^2.
Defino a constante
k=\frac{\rho C_D A}{2m},
para simplificar. Assim a equação diferencial fica
\frac{dv}{dt}=-k v^2.
Explico: aqui k tem unidade \mathrm{m^{-1}}, e a equação mostra que a taxa de variação da velocidade é proporcional ao quadrado da velocidade — típica de arrasto quadrático.

Passo 6

Calculo numericamente k. Usando \rho=1{,}23, C_D=1{,}2, A\approx 4{,}5239 e m\approx 1019{,}368:
\rho C_D A = 1{,}23\cdot 1{,}2\cdot 4{,}5239 \approx 6{,}6759,
k=\frac{6{,}6759}{2\cdot 1019{,}368}=\frac{6{,}6759}{2038{,}736}\approx 0{,}0032748\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 7

Resolvendo a equação diferencial separável:
\frac{dv}{v^2} = -k\,dt.
Integro ambos os lados do instante inicial t=0 com v(0)=v_0 até tempo t com velocidade v(t)=v:
\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{v^2} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral dá
\left[-\frac{1}{v}\right]_{v_0}^{v} = -k t,
ou seja
-\frac{1}{v} + \frac{1}{v_0} = -k t.
Rearranjando:
\frac{1}{v} = k t + \frac{1}{v_0}.
Isolando t:
t=\frac{\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v_0}}{k}.

Passo 8

Agora substituo os valores numéricos: v_0=100\\ \mathrm{m/s}, v=42\\ \mathrm{m/s}, k\approx 0{,}0032748\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calculo primeiro a diferença de recíprocos:
\frac{1}{v}-\frac{1}{v_0}=\frac{1}{42}-\frac{1}{100}\approx 0{,}02380952-0{,}01=0{,}01380952\\ \mathrm{s/m}.
Agora o tempo:
t=\frac{0{,}01380952}{0{,}0032748}\approx 4{,}22\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Interpretação e sensibilidade: o resultado significa que, com as suposições feitas (principalmente C_D=1{,}2 e arrasto quadrático válido), o para‑quedas reduz a velocidade de 100 para 42\\ \mathrm{m/s} em cerca de 4{,}2\\ \mathrm{s}. Se o coeficiente de arrasto real for maior, o tempo será menor; se for menor, o tempo será maior. Como referência, variar C_D em \pm 25\% muda k na mesma proporção e muda t aproximadamente na razão inversa, portanto a ordem de grandeza (alguns segundos) permanece.

Resposta

t\approx 4{,}22\\ \mathrm{s}

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