Para se ajustar a uma máquina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento dessas correias pode ser considerado como uma variável aleatória com distribuição Normal de média 60,7 \mathrm{~cm} e desvio padrão 0,8 \mathrm{~cm}. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na máquina?
b) Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote.

Passo 1

  • O enunciado dá que o comprimento da correia é uma variável aleatória com média \mu=60,7 cm e desvio padrão \sigma=0,8 cm, distribuída normalmente.
  • Perguntas:
    a) Calcular a probabilidade de uma correia escolhida ao acaso ter comprimento entre \,60 cm e \,62 cm, isto é \mathrm{P}(60\le X\le62).
    b) Um revendedor sorteia 4 correias e aceita o lote se a média amostral estiver entre \,60 cm e \,62 cm. Calcular a probabilidade de aceitação do lote.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta central que usaremos: padronização para a Normal padrão. Se X é Normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição Normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. Isso serve para transformar qualquer problema com uma Normal em consultas na tabela (ou função) da Normal padrão \Phi(z)=\mathrm{P}(Z\le z). Explico cada símbolo:
  • \mu é a média da população ( 60,7 cm).
  • \sigma é o desvio padrão da população ( 0,8 cm).
  • X é a variável aleatória do comprimento de uma correia.
  • Z é o escore-z resultado da padronização, que permite usar a tabela \Phi.

Passo 3

Resolvendo (a). Queremos \mathrm{P}(60\le X\le62). Padronizamos os extremos:
z_1=\frac{60-60,7}{0,8}=\frac{-0,7}{0,8}=-0,875,
z_2=\frac{62-60,7}{0,8}=\frac{1,3}{0,8}=1,625.
Portanto
\mathrm{P}(60\le X\le62)=\mathrm{P}\big(z_1\le Z\le z_2\big)=\Phi(1,625)-\Phi(-0,875).
Usamos a propriedade \Phi(-a)=1-\Phi(a) para escrever
\mathrm{P}(60\le X\le62)=\Phi(1,625)+\Phi(0,875)-1.

Passo 4

Agora precisamos dos valores da Normal padrão. Consultando uma tabela ou calculadora padrão:
\Phi(1,625)\approx 0,9479,\qquad \Phi(0,875)\approx 0,8095.
Substituindo:
\mathrm{P}(60\le X\le62)\approx 0,9479+0,8095-1=0,7574.
Interpretação: cerca de 75{,}74\% das correias têm comprimento entre 60 e 62 cm.

Passo 5

Resolvendo (b). Quando tomamos uma amostra de tamanho n de uma população Normal, a média amostral \bar X tem distribuição Normal com média igual à média populacional \mu e desvio padrão igual a \sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Aqui:
\mu_{\bar X}=\mu=60,7,\qquad \sigma_{\bar X}=\frac{0,8}{\sqrt{4}}=\frac{0,8}{2}=0,4.
Isso significa que \bar X\sim N(60,7;0,4) e podemos padronizar \bar X como fizemos antes.

Passo 6

Queremos a probabilidade de aceitar o lote: \mathrm{P}(60\le \bar X\le62). Padronizando:
z_1=\frac{60-60,7}{0,4}=\frac{-0,7}{0,4}=-1,75,
z_2=\frac{62-60,7}{0,4}=\frac{1,3}{0,4}=3,25.
Logo
\mathrm{P}(60\le \bar X\le62)=\Phi(3,25)-\Phi(-1,75).
Usando \Phi(-1,75)=1-\Phi(1,75), reescrevemos
\mathrm{P}(60\le \bar X\le62)=\Phi(3,25)+\Phi(1,75)-1.

Passo 7

Consultando tabela ou calculadora:
\Phi(1,75)\approx 0,9599,\qquad \Phi(3,25)\approx 0,9994.
Portanto
\mathrm{P}(60\le \bar X\le62)\approx 0,9994+0,9599-1=0,9593.
Interpretação: o revendedor aceitará o lote com probabilidade aproximadamente 95{,}93\%. A razão dessa probabilidade ser alta é que a média amostral tem menor variabilidade ( \sigma_{\bar X}=0,4) do que a medida de uma peça individual ( \sigma=0,8), o que concentra \bar X mais perto de \mu.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova: calcule sempre os escores-z com cuidado (atenção aos sinais), use a propriedade de simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) para evitar procurar negativos na tabela, e lembre-se da fórmula \sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt{n} para médias amostrais. Se fizer à mão, três casas decimais em z e quatro decimais na \Phi costumam ser suficientes.

Resposta

a) \approx 0,7574\n
b) \approx 0,9593

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