Para se ajustar a uma máquina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento dessas correias pode ser considerado como uma variável aleatória com distribuição Normal de média
e desvio padrão
. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na máquina?
b) Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote.
a) Qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na máquina?
b) Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote.
Passo 1
- O enunciado dá que o comprimento da correia é uma variável aleatória com média
cm e desvio padrão cm, distribuída normalmente. - Perguntas:
a) Calcular a probabilidade de uma correia escolhida ao acaso ter comprimento entrecm e cm, isto é .
b) Um revendedor sorteiacorreias e aceita o lote se a média amostral estiver entre cm e cm. Calcular a probabilidade de aceitação do lote.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta central que usaremos: padronização para a Normal padrão. Se
é Normal com média
e desvio padrão
, definimos a variável padronizada
Aqui
tem distribuição Normal padrão com média
e desvio padrão
. Isso serve para transformar qualquer problema com uma Normal em consultas na tabela (ou função) da Normal padrão
. Explico cada símbolo:
-
é a média da população ( cm). -
é o desvio padrão da população ( cm). -
é a variável aleatória do comprimento de uma correia. -
é o escore-z resultado da padronização, que permite usar a tabela .
Passo 3
Resolvendo (a). Queremos
. Padronizamos os extremos:
Portanto
Usamos a propriedade
para escrever
Passo 4
Agora precisamos dos valores da Normal padrão. Consultando uma tabela ou calculadora padrão:
Substituindo:
Interpretação: cerca de
das correias têm comprimento entre
e
cm.
Passo 5
Resolvendo (b). Quando tomamos uma amostra de tamanho
de uma população Normal, a média amostral
tem distribuição Normal com média igual à média populacional
e desvio padrão igual a
. Aqui:
Isso significa que
e podemos padronizar
como fizemos antes.
Passo 6
Queremos a probabilidade de aceitar o lote:
. Padronizando:
Logo
Usando
, reescrevemos
Passo 7
Consultando tabela ou calculadora:
Portanto
Interpretação: o revendedor aceitará o lote com probabilidade aproximadamente
. A razão dessa probabilidade ser alta é que a média amostral tem menor variabilidade (
) do que a medida de uma peça individual (
), o que concentra
mais perto de
.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova: calcule sempre os escores-z com cuidado (atenção aos sinais), use a propriedade de simetria
para evitar procurar negativos na tabela, e lembre-se da fórmula
para médias amostrais. Se fizer à mão, três casas decimais em
e quatro decimais na
costumam ser suficientes.
Resposta
a)
\n
b)
b)