Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 :
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?

Passo 1

O enunciado dá os algarismos \{1,2,3,4,5,6\} e pede: quantos números de 4 algarismos com algarismos distintos podem ser formados usando esses dígitos?
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Podemos usar apenas os dígitos \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Cada número terá exatamente 4 algarismos.
  • Os algarismos dentro de cada número devem ser todos distintos (sem repetição).
  • Não há o dígito 0 entre os disponíveis, logo não precisamos nos preocupar com números começando por 0.

Passo 2

Conceito útil: princípio fundamental da contagem (regra do produto).
Se temos uma sequência de escolhas independentes e a primeira escolha pode ser feita de m maneiras e, para cada resultado da primeira, a segunda pode ser feita de n maneiras, então o total de escolhas para as duas etapas é m\cdot n.
Exemplo simples: se tenho 3 camisas e 2 calças, o total de combinações camisa+calça é 3\cdot 2=6.
Aqui vamos ter uma sequência de 4 escolhas (cada algarismo do número), então aplicaremos essa regra multiplicando as opções de cada etapa.

Passo 3

Outra forma padrão é usar permutações sem repetição. A fórmula para o número de permutações de n objetos tomados k de cada vez é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa
n!=n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
No nosso caso, n=6 (seis dígitos disponíveis) e k=4 (queremos formar números de quatro algarismos distintos), então
P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}.

Passo 4

Vamos calcular P(6,4) passo a passo. Primeiro escrevemos 6! e 2!:
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, \qquad 2!=2\cdot1.
Ao dividir, cancelam-se os fatores 2\cdot1 no final, sobrando apenas o produto dos quatro primeiros fatores:
\frac{6!}{2!}=6\cdot5\cdot4\cdot3.
Agora calculamos esse produto passo a passo:
6\cdot5=30,
30\cdot4=120,
120\cdot3=360.
Portanto P(6,4)=360.

Passo 5

Razão alternativa (mesma ideia, mas mais intuitiva para prova): escolher o primeiro algarismo dá 6 opções ( 1,2,3,4,5,6); depois de escolhido o primeiro, o segundo algarismo tem 5 opções (qualquer dos restantes); o terceiro tem 4 opções; o quarto tem 3 opções. Pelo princípio do produto:
6\cdot5\cdot4\cdot3=360.
Isso coincide com P(6,4). Importante: como não há 0 entre os dígitos, não precisamos subtrair casos com zero à esquerda — tudo está correto.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre verifique se a ordem importa (aqui importa, porque 1234 é diferente de 4321) e se há repetição permitida (aqui não). Se ordem importa e não há repetição, use P(n,k) ou a multiplicação sequencial de opções. Respira fundo — tá feito!

Resposta

360

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