1. Alcançando um carro em alta velocidade. Um carro corre à rapidez constante de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}) em uma zona escolar. Um carro de polícia parte do repouso justamente quando o corredor passa por ele e acelera à taxa constante de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
    (a) Quando o carro de polícia alcançara o carro que ultrapassou o limite?
    (b) Quão rápido estará o carro da polícia ao alcançá-lo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • velocidade constante do carro infrator: v_{\text{car}}=25\\ \mathrm{m/s} (equivalente a 90\\ \mathrm{km/h}).
  • o carro de polícia parte do repouso no instante em que o infrator passa por ele: v_{p0}=0.
  • aceleração constante do carro de polícia: a=5,0\\ \mathrm{m/s^2}.
  • ambos estão no mesmo lugar em t=0 (o infrator passa pelo carro de polícia exatamente quando este começa a acelerar).
O enunciado pede:
(a) o tempo decorrido até o carro de polícia alcançar o carro que ultrapassou o limite;
(b) a velocidade do carro de polícia no instante em que o alcança.

Passo 2

Modelagem das posições em função do tempo (movimento retilíneo):
  • Para o carro que mantém rapidez constante, a posição medida a partir do ponto onde passam em t=0 é
x_{\text{car}}(t)=v_{\text{car}}\,t.
Explicação: quando a velocidade é constante, a posição cresce linearmente com o tempo; v_{\text{car}} é a rapidez do carro e t é o tempo desde t=0.
  • Para o carro de polícia, que parte do repouso com aceleração constante, a posição é
x_{p}(t)=v_{p0}\,t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Explicação: a fórmula geral para posição em movimento com aceleração constante é x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2. Aqui x_0=0 (mesmo ponto de partida) e v_{p0}=0.

Passo 3

Condição de encontro: os dois veículos têm a mesma posição em algum tempo t>0. Logo,
x_{\text{car}}(t)=x_{p}(t).
Substituindo as expressões:
v_{\text{car}}\,t = v_{p0}\,t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Como v_{p0}=0, isto simplifica para
v_{\text{car}}\,t=\tfrac{1}{2}a t^{2}.

Passo 4

Resolvendo a equação acima:
v_{\text{car}}\,t=\tfrac{1}{2}a t^{2} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}a t^{2}-v_{\text{car}}\,t=0 \quad\Rightarrow\quad t\Big(\tfrac{1}{2}a t - v_{\text{car}}\Big)=0.
As soluções são t=0 (instante inicial, trivial) e
\tfrac{1}{2}a t - v_{\text{car}}=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2 v_{\text{car}}}{a}.
Agora substitui-se os valores numéricos:
t=\frac{2\times 25}{5,0}=\frac{50}{5,0}=10\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Verificação rápida da distância percorrida até o encontro:
x_{\text{car}}(10)=v_{\text{car}}\,t=25\times 10=250\\ \mathrm{m}.
E para o polícia:
x_{p}(10)=\tfrac{1}{2}\,a\,t^{2}=\tfrac{1}{2}\times 5,0\times 10^{2}=0,5\times 5,0\times 100=250\\ \mathrm{m}.
As distâncias coincidem, portanto o t=10\\ \mathrm{s} está correto.

Passo 6

Velocidade do carro de polícia ao alcançar o infrator. A velocidade num MRUV é
v_{p}(t)=v_{p0}+a t.
Com v_{p0}=0 e t=10\\ \mathrm{s}:
v_{p}=a t=5,0\times 10=50\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{km/h}: 1\\ \mathrm{m/s}=3,6\\ \mathrm{km/h}, logo
50\\ \mathrm{m/s}\times 3,6 =180\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

t=10\\ \mathrm{s}
v_{\text{polícia}}=50\\ \mathrm{m/s}=180\\ \mathrm{km/h}í

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