- Alcançando um carro em alta velocidade. Um carro corre à rapidez constante de
em uma zona escolar. Um carro de polícia parte do repouso justamente quando o corredor passa por ele e acelera à taxa constante de
.
(a) Quando o carro de polícia alcançara o carro que ultrapassou o limite?
(b) Quão rápido estará o carro da polícia ao alcançá-lo?
(a) Quando o carro de polícia alcançara o carro que ultrapassou o limite?
(b) Quão rápido estará o carro da polícia ao alcançá-lo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
- velocidade constante do carro infrator:
(equivalente a ). - o carro de polícia parte do repouso no instante em que o infrator passa por ele:
. - aceleração constante do carro de polícia:
. - ambos estão no mesmo lugar em
(o infrator passa pelo carro de polícia exatamente quando este começa a acelerar).
O enunciado pede:
(a) o tempo decorrido até o carro de polícia alcançar o carro que ultrapassou o limite;
(b) a velocidade do carro de polícia no instante em que o alcança.
(a) o tempo decorrido até o carro de polícia alcançar o carro que ultrapassou o limite;
(b) a velocidade do carro de polícia no instante em que o alcança.
Passo 2
Modelagem das posições em função do tempo (movimento retilíneo):
- Para o carro que mantém rapidez constante, a posição medida a partir do ponto onde passam em
é
Explicação: quando a velocidade é constante, a posição cresce linearmente com o tempo;
é a rapidez do carro e
é o tempo desde
.
- Para o carro de polícia, que parte do repouso com aceleração constante, a posição é
Explicação: a fórmula geral para posição em movimento com aceleração constante é
. Aqui
(mesmo ponto de partida) e
.
Passo 3
Condição de encontro: os dois veículos têm a mesma posição em algum tempo
. Logo,
Substituindo as expressões:
Como
, isto simplifica para
Passo 4
Resolvendo a equação acima:
As soluções são
(instante inicial, trivial) e
Agora substitui-se os valores numéricos:
Passo 5
Verificação rápida da distância percorrida até o encontro:
E para o polícia:
As distâncias coincidem, portanto o
está correto.
Passo 6
Velocidade do carro de polícia ao alcançar o infrator. A velocidade num MRUV é
Com
e
:
Converter para
:
, logo