5. Constante que aparece em expressão da pressão

Na equação P=k v^{2}, na qual v é a velocidade, para que P seja pressão é necessário que k seja?
□ densidade ou massa específica V(Vhol)
□ vazão mássica
□ massa
□ peso

Passo 1

O enunciado dá a relação \;P = k v^{2}\;, onde v é a velocidade, e pergunta qual deve ser a natureza física de k para que P seja pressão. As opções fornecidas são:
  • densidade ou massa específica;
  • vazão mássica;
  • massa;
  • peso.

Passo 2

Vamos lembrar as unidades físicas envolvidas. Pressão tem unidade de Pascal. Em unidades base do SI:
\text{Pa} = \frac{\text{N}}{\text{m}^{2}}, \qquad \text{e}\qquad \text{N}=\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}.
Portanto a unidade de pressão é
[\!P\!] = \frac{\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}}{\text{m}^{2}}=\text{kg}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-2}.

Passo 3

Agora as unidades de velocidade. A velocidade v tem unidade
[\!v\!] = \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Logo a unidade de v^{2} é
[\!v^{2}\!] = \text{m}^{2}\,\text{s}^{-2}.

Passo 4

Isolando k na equação \;P = k v^{2}\; temos \;k = \dfrac{P}{v^{2}}\;. Então as unidades de k são
[\!k\!] = \frac{[\!P\!]}{[\!v^{2}\!]} = \frac{\text{kg}\,\text{m}^{-1}\,\text{s}^{-2}}{\text{m}^{2}\,\text{s}^{-2}} = \text{kg}\,\text{m}^{-3}.
Portanto k deve ter unidades de \text{kg}\,\text{m}^{-3}.

Passo 5

Interpretação física: \text{kg}\,\text{m}^{-3} é exatamente a unidade de densidade (também chamada massa específica), que é massa por volume. Isso é consistente com fórmulas fluidodinâmicas conhecidas, por exemplo a pressão dinâmica
q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2},
onde \rho é a densidade. Assim k corresponde (até um fator numérico) a uma densidade ou massa específica.

Passo 6

Eliminação das outras opções por unidades:
  • vazão mássica tem unidade \text{kg}\,\text{s}^{-1} (ou \text{kg}\,\text{s}^{-1} por área dependendo da definição) — não é \text{kg}\,\text{m}^{-3};
  • massa tem unidade \text{kg} — não confere;
  • peso tem unidade de força \text{N}=\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2} — também não confere.
    Portanto a única opção compatível é densidade / massa específica.

Resposta

densidade ou massa específica

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