Uma aleta retangular de aço (condutividade térmica: 50 W / m cdot K ) possui 10 mm de espessura, 100 mm de comprimento e 300 mm de largura, sendo fixada sobre uma placa mantida a 250^circ C. A temperatura ambiente é 25^circ C e as condições de conveç̧ão natural garantem um coeficiente de convecção de 25 W / m^2 cdot K. Determinar a temperatura na ponta da aleta, a efetividade, a eficiência, e a taxa de transferência de calor dissipada para o ambiente. Resposta: Temperatura na extremidade: 163,7^circ C, Taxa de transferência de calor: 270,3 W, Efetividade: 16,02 e Eficiência: 73,9 %.

Problema 16: •

Avaliar as mesmas grandezas consideradas no exemplo anterior substituindo a aleta de aço por uma aleta composta de uma liga de alumínio (condutividade térmica: 170 W / m cdot K ) de dimensões equivalentes. Comparar e explicar a diferença entre os resultados obtidos nos dois itens. Resposta: Temperatura na extremidade: 217,1^circ C, Taxa de transferência de calor: 329,7 W, Efetividade: 19,54 e Eficiência: 90,2 %.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos usar. A gente tem uma aleta de alumínio (k = 170 W/m·K), espessura t = 10 mm, comprimento L = 100 mm e largura w = 300 mm. A base dela está a 250 °C, o ambiente a 25 °C, e o coeficiente de convecção é h = 25 W/m²·K (convecção natural). Queremos achar:
  1. Temperatura na ponta da aleta,
  2. Taxa de calor dissipada Q,
  3. Efetividade da aleta (Ω) e
  4. Eficiência da aleta (η).
O conteúdo é transferência de calor em aletas (equação de condução 1D + convecção nas faces + convecção na ponta). Vamos usar:
  • Geometria (área da seção, perímetro de convecção),
  • Parâmetro m = √(h P/(k A_c)),
  • Fórmulas da distribuição de temperatura e do calor dissipado para aleta com convecção na ponta.

Passo 2

Primeiro, calculamos as dimensões em metros e as áreas:
t = 0,01 m, w = 0,3 m, L = 0,1 m.
Área da seção transversal:
A_c = t \times w = 0{,}01 \times 0{,}3 = 0{,}003\ \mathrm{m^2}.
Perímetro de convecção (duas faces finas + duas faces largas, mas w ≫ t, mantemos exato):
P = 2\,(w + t) = 2\,(0{,}3 + 0{,}01) = 0{,}62\ \mathrm{m}.
Agora o parâmetro
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}}
  = \sqrt{\frac{25 \times 0{,}62}{170 \times 0{,}003}}
  = 5{,}515\ \mathrm{m^{-1}}.
E definimos o número adimensional da ponta (Bi-tip):
Bi = \frac{h}{m\,k} = \frac{25}{5{,}515 \times 170} = 0{,}0267.

Passo 3

Agora a temperatura na ponta x = L para aleta com convecção na ponta é
\frac{\theta(L)}{\theta_b}
= \frac{1}{\cosh(mL) + Bi\,\sinh(mL)},
onde e .
Calculando:
mL = 5{,}515 \times 0{,}1 = 0{,}5515,  
\cosh(mL) = 1{,}155,\quad \sinh(mL) = 0{,}579,  
\cosh + Bi\,\sinh = 1{,}155 + 0{,}0267 \times 0{,}579 = 1{,}1705,  
\frac{\theta(L)}{\theta_b} = \frac{1}{1{,}1705} = 0{,}854.
Logo
T(L) = T_\infty + 0{,}854 \times 225 = 25 + 192{,}1 = 217{,}1{\,}^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

A taxa de calor dissipada pela aleta é (convecção nas faces + ponta):
Q = \sqrt{h\,P\,k\,A_c}\,\theta_b
  \times \frac{\sinh(mL) + Bi\,\cosh(mL)}
       {\cosh(mL) + Bi\,\sinh(mL)}.
Calculando os termos:
\sqrt{hPA_c k}
= \sqrt{25 \times 0{,}62 \times 0{,}003 \times 170}
= 2{,}812\ \mathrm{W/K},  
\sinh + Bi\,\cosh = 0{,}579 + 0{,}0267 \times 1{,}155 = 0{,}6098,  
\frac{0{,}6098}{1{,}1705} = 0{,}521.
Então
Q = 2{,}812 \times 225 \times 0{,}521 = 329{,}7\ \mathrm{W}.

Passo 5

A efetividade Ω é a razão entre o calor dissipado pela aleta e o calor que sairia se toda a base estivesse à temperatura da base perdendo calor direto por convecção:
\Omega = \frac{Q}{h\,A_b\,\theta_b},\quad
A_b = t \times w = 0{,}003\ \mathrm{m^2}.
Então
h\,A_b\,\theta_b = 25 \times 0{,}003 \times 225 = 16{,}875\ \mathrm{W},
\Omega = \frac{329{,}7}{16{,}875} = 19{,}54.
A eficiência η é Q dividido pela convecção teórica em toda a superfície da aleta:
A_s = P\,L + A_\text{ponta} = 0{,}62 \times 0{,}1 + 0{,}003 = 0{,}0653\ \mathrm{m^2},
h\,A_s\,\theta_b = 25 \times 0{,}0653 \times 225 = 366{,}3\ \mathrm{W},
\eta = \frac{329{,}7}{366{,}3} = 0{,}90\quad(90{,}2\%).

Passo 6

Comparando com a aleta de aço:
  • No alumínio o é maior, logo fica menor e a aleta fica “mais longa” em termos de transferência de calor, ou seja, o perfil de temperatura cai mais devagar, aumentando a .
  • Com isso sobe (de 270 W para ~330 W), a efetividade aumenta (de ~16 para ~19,5) e a eficiência também (de ~74% para ~90%).
    Tudo faz sentido: alumínio conduz melhor calor do que aço, então a aleta usa melhor sua superfície.

Resposta

Temperatura na extremidade: 217,1 °C
Taxa de transferência de calor: 329,7 W
Efetividade: 19,54
Eficiência: 90,2 %

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