Sr. Alfredo necessita definir a quantidade a ser enviada de cada uma das 2 fábricas da PiseBem, principal empresa de calçados do estado. Existem 3 fábricas: TOLEDO com capacidade de produção de 6000 unidades e PONTA GROSSA com capacidade de produção de 2500 unidades, e DOIS VIZINHOS, com capacidade de 5000 unidades e 4 depósitos: Curitiba, com demanda de 6000, Cascavel, com demanda de 4000, Maringá com demanda de 2000 e Campo Mourão com demanda de 1500. Formule este problema como um PPLI de modo a obter o menor custo possível dada a tabela de custo a seguir:
Orig. Dest.
Curitiba
Cascavel
Maringá
Campo Mourão
Toledo
7
5
2
3
Ponta Grossa
2
5
4
5
Dois Vizinhos
3
2
7
6
| Orig. Dest. | Curitiba | Cascavel | Maringá | Campo Mourão |
| Toledo | 7 | 5 | 2 | 3 |
| Ponta Grossa | 2 | 5 | 4 | 5 |
| Dois Vizinhos | 3 | 2 | 7 | 6 |
Passo 1
O enunciado pede que formulemos um problema de distribuição (transporte) como um PPLI para obter o menor custo possível. Dados fornecidos:
-
Fábricas (origens) e suas capacidades:
- Toledo: capacidade
- Ponta Grossa: capacidade
- Dois Vizinhos: capacidade
- Toledo: capacidade
-
Depósitos (destinos) e suas demandas:
- Curitiba: demanda
- Cascavel: demanda
- Maringá: demanda
- Campo Mourão: demanda
- Curitiba: demanda
-
Custo unitário de envio (tabela do enunciado; peguei os dados da tabela do enunciado):
- Verificação rápida dos totais (identificação dos dados): soma das capacidades
e soma das demandas
Portanto o problema está balanceado (oferta total igual à demanda total), o que significa que podemos usar restrições de igualdade para oferta e demanda.
Passo 2
Definir variáveis de decisão (explicando o que cada variável representa): para cada origem
e destino
definimos a variável
como a quantidade (número de unidades) enviada da fábrica
para o depósito
.
Escolha de índices (para ficar claro):
-
representa Toledo, -
representa Ponta Grossa, -
representa Dois Vizinhos. -
representa Curitiba, -
representa Cascavel, -
representa Maringá, -
representa Campo Mourão.
Interpretação concreta: por exemplo,
é o número de pares enviados de Toledo (
) para Cascavel (
).
Como estamos lidando com unidades físicas, as variáveis devem ser não negativas e inteiras. Vou explicitar isso depois nas restrições.
Passo 3
Construir a função objetivo (a aula curta por trás disso): queremos minimizar o custo total. O custo total é a soma, para cada rota origem-destino, do custo unitário multiplicado pela quantidade enviada nessa rota. Assim, se
denota o custo unitário da origem
para o destino
, a função objetivo é
Agora substituímos os
com os valores da tabela (peguei cada valor na tabela do enunciado) e escrevemos explicitamente a soma:
Explicação: cada termo como
representa o custo de enviar
unidades de Toledo para Curitiba a
por unidade.
Passo 4
Escrever as restrições de oferta (capacidade das fábricas) e explicar por que são iguais: cada fábrica
não pode enviar mais do que sua capacidade. Como o problema está balanceado e normalmente desejamos usar toda a produção disponível para atender a demanda, usamos igualdade (toda a produção de cada fábrica será enviada). As equações são:
- Para Toledo (
, capacidade ):
- Para Ponta Grossa (
, capacidade ):
- Para Dois Vizinhos (
, capacidade ):
Breve justificativa didática: cada soma representa as parcelas de produção daquela fábrica destinadas a todos os depósitos. Igualamos à capacidade porque total oferta = total demanda; se o modelo estivesse desbalanceado (oferta maior que demanda), usaríamos desigualdades “
” e possivelmente uma variável de estoque ou de descarte.
Passo 5
Escrever as restrições de demanda (cada depósito precisa receber exatamente sua demanda) e explicar: cada depósito
deve receber um total de unidades igual à sua demanda. Como o problema está balanceado, usamos igualdade:
- Para Curitiba (
, demanda ):
- Para Cascavel (
, demanda ):
- Para Maringá (
, demanda ):
- Para Campo Mourão (
, demanda ):
Explicação prática: cada restrição soma as quantidades enviadas a esse depósito, vindas de todas as fábricas; garantir igualdade significa que a demanda será exatamente satisfeita (nem falta nem sobra).
Passo 6
Não negatividade e integridade das variáveis (e por que isso importa): como as variáveis representam quantidades de pares, obrigamos
E, se o professor exige modelo inteiro (PPLI = programação inteira linear), acrescentamos a restrição de integridade:
Comentário didático curto: na prática, para problemas de transporte com dados inteiros e matriz de coeficientes da forma usual, a solução básica inteira é garantida mesmo relaxando a integridade (isso ocorre por propriedades de unimodularidade), mas se o enunciado pede explicitamente um PPLI, ponha a condição inteira.
Passo 7
Resumo final do modelo (colocando tudo junto — esta é a formulação pedida como PPLI):
Função objetivo:
Restrições de oferta:
Restrições de demanda:
Condições das variáveis:
Observação final (opcional para a prova): para resolver numericamente esse PPLI você pode usar o método do transporte (Simplex de transporte, como início com NW corner, custo mínimo, ou Vogel, e depois otimizar) ou um solver de PL/MILP; como o problema está balanceado, não precisa de variável artificiais extras.]