Expresso Rápido Paranaense é uma empresa de transporte com quatro grandes terminais localizados nas cidades A, B, C e D. Conseguiram padronizar o tamanho dos pneus em cada um de seus caminhões e se preparam para fazer um grande pedido de reposição de pneus para as duas grandes companhias no Brasil, a Goodrelli e a Pi-ano. A demanda total é de 20.000 pneus. Estes serão estocados em cada um dos quatro terminais, nas quantidades mostradas na tabela a seguir. Também na tabela consta o custo de entrega de cada pneu, por companhia.
Terminal
Pneus
Necessários
{(
) /$ pneu }
Goodrelli
Pi-ano
A
3.500
66
38
B
8.500
65
75
C
4.500
37
65
D
3.500
42
48
O Sr. Shiguetoshi, gerente de suprimentos tem a informação que a Goodrelli dispõe de no máximo 16.000 pneus, e que a Pi-ano somente dispõe de 8.000 unidades para pronta entrega. Deseja-se minimizar o custo total de receber as 20.000 unidades. Resolva o problema como um problema de transporte cuja solução informe ao Sr. Shiguetoshi a quantidade ideal de pneus que deve ser encomendada de cada companhia para cada terminal.
| Terminal |
|
{( | |||
| ) /$ pneu } | |||||
| Goodrelli | Pi-ano | ||||
| A | 3.500 | 66 | 38 | ||
| B | 8.500 | 65 | 75 | ||
| C | 4.500 | 37 | 65 | ||
| D | 3.500 | 42 | 48 | ||
Passo 1
O enunciado pede que se determine a quantidade de pneus a encomendar de cada companhia (Goodrelli e Pi-ano) para cada terminal (A, B, C, D), de modo a satisfazer a demanda total de
pneus e a minimizar o custo total, sabendo que cada companhia tem limite de oferta. Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
- Demandas nos terminais:
- Capacidades (oferta) das companhias:
- Custo por pneu ($/pneu) de cada companhia para cada terminal (peguei esses valores da tabela do enunciado):
O objetivo é minimizar o custo total de entrega atendendo as demandas e respeitando as ofertas máximas de cada companhia.
Passo 2
Modelagem (variáveis e restrições) — vou definir variáveis que representam quantos pneus cada companhia envia para cada terminal. Isso é importante para formalizar o problema e ver claramente as restrições.
Definimos as variáveis:
onde
é a quantidade de pneus que a Goodrelli fornece ao terminal
.
onde
é a quantidade de pneus que a Pi-ano fornece ao terminal
.
Restrições de demanda (cada terminal deve receber exatamente o que precisa):
Restrições de oferta (cada companhia não pode fornecer mais do que tem disponível):
Não negatividade:
Função objetivo (minimizar custo total):
Passo 3
Escolha do método de solução e racionalização (passo importante para a prova). Como temos apenas duas fontes (Goodrelli e Pi-ano) e quatro destinos, dá para usar um raciocínio direto e intuitivo: para cada terminal, comparar os custos unitários das duas companhias e, em princípio, escolher a companhia mais barata para abastecer esse terminal. Se a companhia mais barata não tiver oferta suficiente, o restante deve vir da outra. Isso é exatamente o ponto central do problema de transporte quando há competição de custos e limites de oferta — escolhemos a opção mais barata por terminal salvo restrição de capacidade.
Vou aplicar esse raciocínio passo a passo, explicando cada decisão.
Passo 4
Comparação de custos por terminal (vou ver, terminal a terminal, qual companhia é mais barata — peguei os valores da tabela):
- Terminal
: Goodrelli , Pi-ano . Pi-ano é mais barato para . - Terminal
: Goodrelli , Pi-ano . Goodrelli é mais barato para . - Terminal
: Goodrelli , Pi-ano . Goodrelli é mais barato para . - Terminal
: Goodrelli , Pi-ano . Goodrelli é mais barato para .
Observação didática: sempre que uma companhia for mais barata para um destino, é natural tentar alocar toda a demanda desse destino a essa companhia, salvo se a oferta dela não permitir. Então começo alocando “inteiro” onde há claro vencedor de custo.
Passo 5
Alocação inicial baseada em custos mais baixos:
- Para
: Pi-ano é mais barato ( vs ). Vou alocar toda a demanda de para Pi-ano:
Depois dessa alocação, a oferta restante da Pi-ano é
E a demanda restante total é
(ou simplesmente as demandas de B,C,D somam
).
- Para
: Goodrelli é mais barato ( vs ). Vou tentar alocar toda a demanda de para Goodrelli:
- Para
: Goodrelli é mais barato ( vs ). Vou tentar alocar toda a demanda de para Goodrelli:
- Para
: Goodrelli é mais barato ( vs ). Em princípio vou alocar toda a demanda de para Goodrelli:
Agora vou checar se a Goodrelli tem oferta suficiente para atender
totalmente.
Passo 6
Verificação das capacidades após alocações iniciais:
Total pedido a Goodrelli se atender
totalmente:
Mas a Goodrelli tem no máximo
. Ou seja, há um déficit de
pneus: a Goodrelli não consegue atender totalmente
. Portanto precisamos decidir onde esses
restantes serão fornecidos pela Pi-ano. Como queremos minimizar custo, convém fazer a Goodrelli suprir os terminais onde a diferença de custo (Pi-ano menos Goodrelli) é maior — isso evita pagar o “prêmio” elevado que a Pi-ano cobra nesses terminais. Vamos calcular essas diferenças (peguei custos da tabela):
Explicação didática: se a Goodrelli não puder suprir tudo, preferimos que Pi-ano preencha o que restar no terminal com menor penalidade adicional, ou seja, onde
é mínimo — porque assim pagamos o menor custo extra possível. Aqui
é o menor, então faz sentido deixar Pi-ano suprir o déficit em
.
Passo 7
Ajuste final de alocação considerando a limitação da Goodrelli:
Como Goodrelli pode fornecer no máximo
, vou atribuir a Goodrelli o atendimento integral de
(já que
é grande, queremos que Goodrelli cubra isso), e de
, e o restante para
. Escrevendo:
- Goodrelli fornece totalmente
: . - Goodrelli fornece totalmente
: .
Total até aqui:.
Sobram
unidades da Goodrelli para
. Então:
A demanda de
é
, então o restante
será fornecido pela Pi-ano:
Mantemos
definido antes e
. Para
e
Pi-ano não fornece nada porque Goodrelli já atende seus pedidos:
Verificação de soma das ofertas usadas:
Verificação de demandas:
Tudo confere: solução factível.
Passo 8
Cálculo detalhado do custo total (vou mostrar conta por rota para você poder checar na prova sem calculadora, passo a passo):
Custos dos envios da Goodrelli (peguei as quantidades das alocações anteriores):
Faço a multiplicação:
.
portanto
Calcule:
Soma dos custos da Goodrelli:
Custos dos envios da Pi-ano:
Soma dos custos da Pi-ano:
Custo total
:
Passo 9
Interpretação final e dica prática para a prova: a solução que obtivemos aloca sempre a companhia mais barata para cada terminal, exceto quando a oferta da companhia mais barata é insuficiente — aí a outra companhia entra para cobrir o restante, preferencialmente nos terminais onde isso gera o menor aumento de custo. Com duas fontes isso é rápido de fazer no exame: compare custos por destino, esgote a oferta da mais barata onde possível, e se faltar capacidade, atribua a sobra aos destinos onde a penalidade de mudar de fornecedor é menor (calcule as diferenças de custo).
Resposta
Goodrelli
A:
Goodrelli B:
Goodrelli C:
Goodrelli D:
Pi-ano A:
Pi-ano B:
Pi-ano C:
Pi-ano D:
Custo total mínimo:
Goodrelli
Goodrelli
Goodrelli
Pi-ano
Pi-ano
Pi-ano
Pi-ano
Custo total mínimo: