Expresso Rápido Paranaense é uma empresa de transporte com quatro grandes terminais localizados nas cidades A, B, C e D. Conseguiram padronizar o tamanho dos pneus em cada um de seus caminhões e se preparam para fazer um grande pedido de reposição de pneus para as duas grandes companhias no Brasil, a Goodrelli e a Pi-ano. A demanda total é de 20.000 pneus. Estes serão estocados em cada um dos quatro terminais, nas quantidades mostradas na tabela a seguir. Também na tabela consta o custo de entrega de cada pneu, por companhia.
Terminal
Pneus
Necessários
{(
) /$ pneu }
Goodrelli Pi-ano
A 3.500 66 38
B 8.500 65 75
C 4.500 37 65
D 3.500 42 48
O Sr. Shiguetoshi, gerente de suprimentos tem a informação que a Goodrelli dispõe de no máximo 16.000 pneus, e que a Pi-ano somente dispõe de 8.000 unidades para pronta entrega. Deseja-se minimizar o custo total de receber as 20.000 unidades. Resolva o problema como um problema de transporte cuja solução informe ao Sr. Shiguetoshi a quantidade ideal de pneus que deve ser encomendada de cada companhia para cada terminal.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a quantidade de pneus a encomendar de cada companhia (Goodrelli e Pi-ano) para cada terminal (A, B, C, D), de modo a satisfazer a demanda total de 20.000 pneus e a minimizar o custo total, sabendo que cada companhia tem limite de oferta. Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Demandas nos terminais:
\begin{aligned} &\text{Terminal A: } 3{,}500 \\\ &\text{Terminal B: } 8{,}500 \\\ &\text{Terminal C: } 4{,}500 \\\ &\text{Terminal D: } 3{,}500 \end{aligned}
  • Capacidades (oferta) das companhias:
\text{Goodrelli: } 16{,}000,\qquad \text{Pi-ano: } 8{,}000
  • Custo por pneu ($/pneu) de cada companhia para cada terminal (peguei esses valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccc} & A & B & C & D \\hline \text{Goodrelli} & 66 & 65 & 37 & 42 \\\ \text{Pi-ano} & 38 & 75 & 65 & 48 \end{array}
O objetivo é minimizar o custo total de entrega atendendo as demandas e respeitando as ofertas máximas de cada companhia.

Passo 2

Modelagem (variáveis e restrições) — vou definir variáveis que representam quantos pneus cada companhia envia para cada terminal. Isso é importante para formalizar o problema e ver claramente as restrições.
Definimos as variáveis:
x_{G,A},\; x_{G,B},\; x_{G,C},\; x_{G,D}
onde x_{G,T} é a quantidade de pneus que a Goodrelli fornece ao terminal T\in\{A,B,C,D\}.
x_{P,A},\; x_{P,B},\; x_{P,C},\; x_{P,D}
onde x_{P,T} é a quantidade de pneus que a Pi-ano fornece ao terminal T.
Restrições de demanda (cada terminal deve receber exatamente o que precisa):
\begin{aligned} x_{G,A}+x_{P,A} &= 3{,}500,\\\ x_{G,B}+x_{P,B} &= 8{,}500,\\\ x_{G,C}+x_{P,C} &= 4{,}500,\\\ x_{G,D}+x_{P,D} &= 3{,}500. \end{aligned}
Restrições de oferta (cada companhia não pode fornecer mais do que tem disponível):
\begin{aligned} x_{G,A}+x_{G,B}+x_{G,C}+x_{G,D} &\le 16{,}000,\\\ x_{P,A}+x_{P,B}+x_{P,C}+x_{P,D} &\le 8{,}000. \end{aligned}
Não negatividade:
x_{G,T}\ge 0,\quad x_{P,T}\ge 0\quad\text{para todo }T.
Função objetivo (minimizar custo total):
\text{Minimize }\; Z = 66x_{G,A}+65x_{G,B}+37x_{G,C}+42x_{G,D}+38x_{P,A}+75x_{P,B}+65x_{P,C}+48x_{P,D}.

Passo 3

Escolha do método de solução e racionalização (passo importante para a prova). Como temos apenas duas fontes (Goodrelli e Pi-ano) e quatro destinos, dá para usar um raciocínio direto e intuitivo: para cada terminal, comparar os custos unitários das duas companhias e, em princípio, escolher a companhia mais barata para abastecer esse terminal. Se a companhia mais barata não tiver oferta suficiente, o restante deve vir da outra. Isso é exatamente o ponto central do problema de transporte quando há competição de custos e limites de oferta — escolhemos a opção mais barata por terminal salvo restrição de capacidade.
Vou aplicar esse raciocínio passo a passo, explicando cada decisão.

Passo 4

Comparação de custos por terminal (vou ver, terminal a terminal, qual companhia é mais barata — peguei os valores da tabela):
  • Terminal A: Goodrelli 66, Pi-ano 38. Pi-ano é mais barato para A.
  • Terminal B: Goodrelli 65, Pi-ano 75. Goodrelli é mais barato para B.
  • Terminal C: Goodrelli 37, Pi-ano 65. Goodrelli é mais barato para C.
  • Terminal D: Goodrelli 42, Pi-ano 48. Goodrelli é mais barato para D.
Observação didática: sempre que uma companhia for mais barata para um destino, é natural tentar alocar toda a demanda desse destino a essa companhia, salvo se a oferta dela não permitir. Então começo alocando “inteiro” onde há claro vencedor de custo.

Passo 5

Alocação inicial baseada em custos mais baixos:
  • Para A: Pi-ano é mais barato ( 38 vs 66). Vou alocar toda a demanda de A para Pi-ano:
x_{P,A} = 3{,}500,\qquad x_{G,A}=0.
Depois dessa alocação, a oferta restante da Pi-ano é
8{,}000 - 3{,}500 = 4{,}500.
E a demanda restante total é 20{,}000 - 3{,}500 = 16{,}500 (ou simplesmente as demandas de B,C,D somam 8{,}500+4{,}500+3{,}500=16{,}500).
  • Para B: Goodrelli é mais barato ( 65 vs 75). Vou tentar alocar toda a demanda de B para Goodrelli:
x_{G,B} = 8{,}500.
  • Para C: Goodrelli é mais barato ( 37 vs 65). Vou tentar alocar toda a demanda de C para Goodrelli:
x_{G,C} = 4{,}500.
  • Para D: Goodrelli é mais barato ( 42 vs 48). Em princípio vou alocar toda a demanda de D para Goodrelli:
x_{G,D} = 3{,}500.
Agora vou checar se a Goodrelli tem oferta suficiente para atender B,C,D totalmente.

Passo 6

Verificação das capacidades após alocações iniciais:
Total pedido a Goodrelli se atender B,C,D totalmente:
8{,}500 + 4{,}500 + 3{,}500 = 16{,}500.
Mas a Goodrelli tem no máximo 16{,}000. Ou seja, há um déficit de
16{,}500 - 16{,}000 = 500
pneus: a Goodrelli não consegue atender totalmente B,C,D. Portanto precisamos decidir onde esses 500 restantes serão fornecidos pela Pi-ano. Como queremos minimizar custo, convém fazer a Goodrelli suprir os terminais onde a diferença de custo (Pi-ano menos Goodrelli) é maior — isso evita pagar o “prêmio” elevado que a Pi-ano cobra nesses terminais. Vamos calcular essas diferenças (peguei custos da tabela):
\begin{aligned} \Delta_B &= \text{custo}_{P,B} - \text{custo}_{G,B} = 75 - 65 = 10,\\\ \Delta_C &= 65 - 37 = 28,\\\ \Delta_D &= 48 - 42 = 6. \end{aligned}
Explicação didática: se a Goodrelli não puder suprir tudo, preferimos que Pi-ano preencha o que restar no terminal com menor penalidade adicional, ou seja, onde \Delta é mínimo — porque assim pagamos o menor custo extra possível. Aqui \Delta_D=6 é o menor, então faz sentido deixar Pi-ano suprir o déficit em D.

Passo 7

Ajuste final de alocação considerando a limitação da Goodrelli:
Como Goodrelli pode fornecer no máximo 16{,}000, vou atribuir a Goodrelli o atendimento integral de C (já que \Delta_C é grande, queremos que Goodrelli cubra isso), e de B, e o restante para D. Escrevendo:
  • Goodrelli fornece totalmente B: x_{G,B}=8{,}500.
  • Goodrelli fornece totalmente C: x_{G,C}=4{,}500.
    Total até aqui: 8{,}500+4{,}500=13{,}000.
Sobram 16{,}000-13{,}000 = 3{,}000 unidades da Goodrelli para D. Então:
x_{G,D} = 3{,}000.
A demanda de D é 3{,}500, então o restante 500 será fornecido pela Pi-ano:
x_{P,D} = 500.
Mantemos x_{P,A}=3{,}500 definido antes e x_{G,A}=0. Para B e C Pi-ano não fornece nada porque Goodrelli já atende seus pedidos:
x_{P,B}=0,\quad x_{P,C}=0.
Verificação de soma das ofertas usadas:
\begin{aligned} \text{Goodrelli total} &= 8{,}500+4{,}500+3{,}000+0 = 16{,}000\quad(\text{igual ao máximo}),\\\ \text{Pi-ano total} &= 3{,}500 + 0 + 0 + 500 = 4{,}000 \le 8{,}000. \end{aligned}á
Verificação de demandas:
\begin{aligned} A:&\; x_{G,A}+x_{P,A}=0+3{,}500=3{,}500,\\\ B:&\; 8{,}500+0=8{,}500,\\\ C:&\; 4{,}500+0=4{,}500,\\\ D:&\; 3{,}000+500=3{,}500. \end{aligned}
Tudo confere: solução factível.

Passo 8

Cálculo detalhado do custo total (vou mostrar conta por rota para você poder checar na prova sem calculadora, passo a passo):
Custos dos envios da Goodrelli (peguei as quantidades das alocações anteriores):
\begin{aligned} \text{Goodrelli para }B &: 8{,}500 \times 65. \end{aligned}
Faço a multiplicação: 8{,}500\times 65 = 8{,}500\times(60+5) = 8{,}500\times 60 + 8{,}500\times 5.
8{,}500\times 60 = 510{,}000,\qquad 8{,}500\times 5 = 42{,}500,
portanto
8{,}500\times 65 = 510{,}000+42{,}500 = 552{,}500.
\begin{aligned} \text{Goodrelli para }C &: 4{,}500 \times 37. \end{aligned}
Calcule: 4{,}500\times 37 = 4{,}500\times(30+7) = 135{,}000 + 31{,}500 = 166{,}500.
\begin{aligned} \text{Goodrelli para }D &: 3{,}000 \times 42 = 3{,}000\times(40+2)=120{,}000+6{,}000=126{,}000. \end{aligned}
Soma dos custos da Goodrelli:
552{,}500 + 166{,}500 + 126{,}000 = 845{,}000.
Custos dos envios da Pi-ano:
\begin{aligned} \text{Pi-ano para }A &: 3{,}500 \times 38 = 3{,}500\times(30+8)=105{,}000+28{,}000=133{,}000,\\\ \text{Pi-ano para }D &: 500 \times 48 = 24{,}000. \end{aligned}
Soma dos custos da Pi-ano:
133{,}000 + 24{,}000 = 157{,}000.
Custo total Z:
Z = 845{,}000 + 157{,}000 = 1{,}002{,}000.

Passo 9

Interpretação final e dica prática para a prova: a solução que obtivemos aloca sempre a companhia mais barata para cada terminal, exceto quando a oferta da companhia mais barata é insuficiente — aí a outra companhia entra para cobrir o restante, preferencialmente nos terminais onde isso gera o menor aumento de custo. Com duas fontes isso é rápido de fazer no exame: compare custos por destino, esgote a oferta da mais barata onde possível, e se faltar capacidade, atribua a sobra aos destinos onde a penalidade de mudar de fornecedor é menor (calcule as diferenças de custo).

Resposta

Goodrelli \to A: 0
Goodrelli \to B: 8{,}500
Goodrelli \to C: 4{,}500
Goodrelli \to D: 3{,}000
Pi-ano \to A: 3{,}500
Pi-ano \to B: 0
Pi-ano \to C: 0
Pi-ano \to D: 500
Custo total mínimo: \$\,1{,}002{,}000

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